Задача 1. Пусть водитель автомобиля, к которому привязана система отсчета, посмотрит на другой автомобиль. Положение этого автомобиля не будет меняться во времени. Как он был вначале напротив, так он и останется в этом положении. А раз положение не меняется, то его скорость равна нуль. Почему же применение формулы для сложения скоростей дало 72 км/час? Предлагаю обсудить на Форуме.

Задача 2. Если бросить камень почти вертикально, то расстояние до него вначале будет увеличиваться, а затем начнет уменьшаться. Ясно, что нужно найти “граничное” значение угла бросания . Для этого математиками разработана специальная процедура – поиск экстремуму функции. Рассмотрим, как это делается, на примере этой задачи.

Напишем выражение для модуля радиуса-вектора:

Поэтому

Теперь мы должны взять производную от R по t и приравнять ее нулю. Так мы найдем момент времени, в который процесс увеличения R сменится его убыванием. Мы можем сэкономить, взяв производную только от подкоренного выражения. Такой прием описан у Ткачука “Математика – абитуриенту” в 23 уроке.

Так как по смыслу задачи a больше нуля, то можно сократить на t и мы получаем квадратное уравнение

Это уравнение не должно иметь решения, поэтому дискриминант уравнения меньше нуля.

Если вы еще не проходили производные и методы поиска экстремума функции, то это не беда. Это не сложные вещи и научиться этому можно за день-другой. Если вы все же не желаете или не можете по каким то причинам это делать, то вам придется в каждой задаче искать свой специфический метод решения. А в стрессовых условиях экзамена это трудно сделать. У некоторых в условиях стресса способности возрастают, но есть очень много людей, которые при стрессе стопорятся. Поэтому лучше иметь наработанные методы, чем изобретать их в экзаменационной аудитории. Но на олимпиаде решение задач необычным способом приветствуется. 

Посмотрим, как можно решить эту задачу без применения математического анализа.

Посмотрите на рис. 1. Можно (?) догадаться, что в точке, в которой брошенное тело перестает удаляться, радиус-вектор перпендикулярен вектору скорости. Тогда

или

Откуда получаем квадратное уравнение:

Дальше мы уже решали.

Задача 3. Должен признать, что в условие этой задачи вкралась ошибка, на которую мне указал Алексей Шастин, химик-синтетик, сотрудник Института проблем химической физики РАН. Для того, чтобы реализовался механизм межфазного кипения, необходимо выполнение трех условий: жидкости не должны растворяться друг в друге, то есть давать межфазную границу, поэтому это не может быть пара вода-спирт, жидкости должны иметь разную плотность и разную температуру кипения. Я взял пару вода-анилин, но указал неправильно температуру кипения анилина. Она равна184,4⁰С, а не 90, как написано в условии задачи. Мы можем взять для определенности бензол, его температура кипения 80,1⁰С, тогда на границе фаз кипение начнется при температуре около 70⁰С, либо можно взять толуол, его температура кипения 110⁰С, тогда межфазное кипение произойдет при температуре около 90⁰С.

Так в чем состоит механизм межфазного кипения?

Известно (?), что кипение происходит при температуре, при которой давление паров равно внешнему давлению, в данном случае – атмосферному. При 70⁰С давление насыщенных паров воды около 1/3 атмосферы, у бензола – около 2/3, по закону Дальтона давление смеси газов равно сумме парциальных давлений, т.е. 1 атмосфере. Поэтому на границе вода-бензол кипение начинается при температуре около 70⁰С.

Задача 4. Один механизм перегорания электрических лампочек предложен в работе Руслана Ахметова из Нефтьюганска. Если в колбу лампы попал воздух, то при высокой температуре происходит реакция вольфрама с кислородом. Окисел вольфрама летуч, он в виде белого дыма оседает на холодных стенках, а спираль утончается и, даже, перегорает полностью, если кислорода достаточно. По этой причине спирали нагревательных приборов, работающих в окислительной среде, а воздух – это окислительная среда, выполняются из специальных сплавов, у которых окислы нелетучие. Например – нихром. А из вольфрама, молибдена, графита выполняются нагреватели вакуумных печей.

Второй механизм перегорания не столь очевиден. Он состоит из двух важных моментов. Во-первых – вольфрамовая спираль испаряется. Это мы знаем по учебникам. Знаем, что испарение происходит при всех температурах, и этот процесс ускоряется с повышением температуры. А если вы хотите убедиться, что в учебниках написано правильно, то сравните внешний вид новой лампы и лампы, которой уже пора бы перегореть. Стекло старой лампы на глаз выглядит значительно темнее новой. Темный цвет стеклу придает вольфрам, испарившийся с горячей спирали и осевший на холодном стекле. Металлы не прозрачны (почему?), поэтому стекло с тонким слоем металла темнее чистого. Если бы вольфрам испарялся со всей поверхности равномерно, то лампы работали бы много дольше, и прекращали свою работу не от перегорания спирали, а от потемнения стекла. В механизме перегорания важное значение играет явление, которое называется положительная обратная связь. Положительная обратная связь лежит в основе процессов, происходящих с самоускорением – воспламенение, взрыв, развитие раковой опухоли и инфаркта миокарда, цепные радикальные реакции в химии, многие катастрофические явления. 

Рассмотрим детальнее механизм обратной связи в процессе перегорания спирали. Как бы не была однородна спираль, в ней есть места с большим или меньшим сопротивлением. Так как эти участки включены последовательно, то ток в них одинаков, и выделившаяся в этих участках мощность пропорциональна сопротивлению. Значит, места с повышенным сопротивлением нагреваются сильнее. В местах с более высокой температурой испарение происходит с более высокой скорость, чем в соседних участках. Поэтому в этих местах спираль быстрее утончается, поэтому сопротивление этих мест увеличивается, поэтому в них выделяется еще большая мощность,они нагреваются сильнее, испарение ускоряется и т.д. Процесс самоускоряется. Такие процессы описываются экспоненциальной функцией, то есть функцией вида 

Причем, показатель экспоненты a больше нуля.. Такие функции растут чрезвычайно быстро, поэтому они описывают быстро развивающиеся процессы, взрыв, рак, флаттер, разветвленные цепные реакции, свертывание крови и великое множество подобных процессов.

Почему лампы перегорают в основном в момент включения? И для чего в современных лампах в колбах вакуум заменен на инертный газ с примесью галогена. В отличие от старых вакуумных они называются газонаполненными. Есть у кого соображения? Высказывайте их на Форуме.

Есть еще один механизм перегорания, даже скорее не перегорания, а разрушения спирали. Структура вольфрама в новой спирали лампы мелкокристаллическая. Спираль состоит из очень мелких кристаллитов. Межкристаллическая граница обладает повышенной энергией. В школьных учебниках физика поверхностных явлений описана на примере жидкостей. Но все это справедливо и для кристаллов. Я наблюдал интересное явление перекристаллизации мелких кристаллов в крупные через пар, совершенно аналогичный процессу разрушения тумана. Схожее явление происходит и в вольфраме. При высокой температуре мелкие кристаллы перерастают в крупные, ведь при этом уменьшается общая площадь кристаллов и, следовательно, уменьшается энергия кристаллических границ. Прочность проволоки, состоящей из больших кристаллитов намного меньше. А если межкристаллические границы пересекут проволоку, то такая проволока рассыпается при сотрясении. Прочность межкристаллических границ меньше прочности кристалла, так как в ней расстояния между атомами больше, чем в идеальном кристалле. В старые времена были электрические плитки с открытыми спиралями. Когда они перегорали, то было трудно починить их, скручивая их спираль. Старый нихром очень ломкий. В нем исходные мелкие кристаллики переросли в крупные. И механическая прочность такого материала резко уменьшилась. Однажды я должен был прикрепить полку к стенки, на которой была лампа. Полку я прикрепил, но лампа вышла из строя. Ее спираль рассыпалась от сотрясения стенки.

Почему так часто в этом месте я употребил слова “высокая температура”?

Задача 5. Я настаиваю, что слова “цвет моря – это отраженный свет неба” верны более чем на 90%. Если мы смотрим вертикально вниз, в воду, то в глаз попадут лучи, идущие из глубины моря. Они тоже синие, причем здесь работает тот же механизм, который делает синим небо. А, кстати, что это за механизм? Помню, для меня было большим потрясением, когда я прочитал о нем в “Атомной физике” Макса Борна. Но к нему добавляются небольшие добавки желтого и зеленого цвета, которые дают небольшие отличия в цвете разных морей. Но свет, идущий от дальних участков моря - полностью отраженный свет неба. Подробне о цвете моря можно прочитать в книге Минарта "Свет и цвет в природе". Почему же море у горизонта намного темнее неба, настолько, что четко видна линия горизонта? Посмотрите на рисунок №2. 

Задача 6. Ярослав Цветков из Москвы, гимн. №1542, 9-г класс совершенно верно решил эту задачу. Вот его решение: Солнечные пятна представляют собой изображение Солнца, получившиеся при прохождении пучка света через малые отверстия. Малыми отверстиями являются просветы между листьями. А видны полумесяцы, потому что луна закрыла солнце, и был виден только серпик.

Он правильно решил, что серпики на земле – это изображения Солнца в камере-обскуре, получившейся из маленьких отверстий между листьями деревьев. Обычно Солнце круглое, и его изображения на земле тоже круглые. Мы к этому привыкли и не удивляемся. Но когда мы увидели множество серпиков, то это было очень необычно. Попробуйте самостоятельно изготовить камеру-обскуру. Для этого возьмите какую-нибудь коробку, например, от обуви. В одной стенке сделайте маленькое отверстие, а противоположную стенку замените полупрозрачной бумагой. Если направить отверстие-объектив на ярко освещенный предмет, то на затененной противоположной стенке вы увидите перевернутое изображение. Поэкспериментируйте с камерой. Как зависит качество изображение от размеров отверстия? До изобретения фотографии художники иногда использовали камеры-обскуры для изготовления картин. Есть предположение, что плащаница – это автопортрет Леонардо да Винчи, изготовленный им с помощью камеры-обскуры.

Задача 7. Участники олимпиады увидели диффузию, плавление, испарение и полный переход в газообразное состояние, а также обратные процессы. Ярослав Цветков заметил, что при 200К вещество находится в желеобразном состоянии. Что бы это значило – атомное желе? Я думаю, что из-за того, что мы имеем двухмерный, а не трехмерный кристалл, мы не наблюдаем процесс плавления со всеми его специфическими деталями. Прежде всего, мы не наблюдаем температуры плавления. Вещество начинает деформироваться в довольно широком диапазоне температур. Может быть – это проявление действия на кристалл очень больших сил, направленных вниз и моделирующих гравитацию. Если это гравитация, то очень сильная, сходная с притяжением нейтронных звезд или белых карликов. Мы можем судить о величине притяжения по размеру атмосферы. На Земле высота атмосферы, скажем, что высота атмосферы – это высота, на которой атмосферное давление уменьшается вдвое, около 5 км. А в нашей модельной атмосфере при умеренных температурах высота атмосферы – несколько сантиметров. Прочность реальных кристаллов начинает быстро уменьшаться начиная с температур 0,7 Т_{плавления} (смотрите А .Уббелоде “Плавление и кристаллическая структура”). А под действием “притяжения к земле” кристалл начинает пластически деформироваться. Этот процесс Ярослав и назвал переходом в желе. Пластическая деформация – сложнейший процесс. Его изучают и физики, и инженеры-технологи. Наша моделька позволяет увидеть множество интересных деталей этого процесса.Всего я углядел не меньше полутора десятка явлений, достойных докторских диссертаций. Я увидел одно явление, о котором раньше не знал. Если окажется, что это не пробел моего образования, то я подготовлю доклад об этом интересном явлении на Симпозиуме по химической физике.

Я предлагаю продлить время присылки ответов по этой задаче. Причем решения можно сразу публиковать на Форуме для обсуждения.

И уже в самом конце я позволю себе высказать пару слов о целях и смысле нашей олимпиады. Мне задавали много подобных вопросов. Понятно, что участие в ней не дает вам даже пол балла, которые дают институтские олимпиады. Я отвечал, что я делаю ее для тех, кто просто любит науку. И еще для тех, кому не повезло, как мне. У меня были отличные учителя. Вокруг меня всегда были и есть замечательные люди, настоящие ученые, физики, математики, химики, биологи, психологи, историки и литераторы, инженеры и изобретатели. Я учился у них и продолжаю учиться. Многие лишены такой возможности. 
Задание олимпиады здесь.

Русская интерактивная дистанционная школа физики

Fatal error: Uncaught Error: Call to undefined function set_magic_quotes_runtime() in /www/htdocs/1dbcf2b3552b065fc49d8747114db86c/sape.php:262 Stack trace: #0 /www/htdocs/1dbcf2b3552b065fc49d8747114db86c/sape.php(343): SAPE_base->_read('/www/htdocs/1db...') #1 /www/htdocs/1dbcf2b3552b065fc49d8747114db86c/sape.php(418): SAPE_base->load_data() #2 /www/htdocs/links.html(7): SAPE_client->SAPE_client() #3 /www/htdocs/tournaments/man/physics_solutions.html(427): include('/www/htdocs/lin...') #4 {main} thrown in /www/htdocs/1dbcf2b3552b065fc49d8747114db86c/sape.php on line 262