Во всех задачах, которые мы решали до сих пор, нам задавалось расположение электрических зарядов и надо было найти напряженность электрического поля в некоторой точке или силу, действующую на заряд, помещенный в эту точку. Так как мы знаем вид электрического поля точечного заряда, прямой линии и 
заряженной плоскости, то все эти задачи сводились, по существу, к геометрии. Но есть в школьной физике группа задач, в которых требуется найти силу взаимодействия между точечным зарядом и протяженным незаряженным проводником. Несмотря на то, что проводник в целом незаряженный, под действием поднесенного заряда заряды в проводнике перераспределятся.

 Это явление называют электростатической индукцией. Вспомним, в чем оно заключается. 

   Поднесем точечный заряд +q к незаряженному металлическому шарику. Под действием его электрического поля электроны в шарике переместятся таким образом, чтобы результирующее поле внутри металлического шарика стало равно нулю. Поле внешнего точечного заряда оказалось компенсированным полем зарядов, "появившихся" на поверхности шарика. Будем называть их наведенными зарядами.

   Поле от наведенных зарядов есть и вне проводника. Оно действует на заряд +q и он притягивается к шарику, хотя полный заряд шарика равен нулю. Если мы заземлим шарик, то на него перетечет дополнительный заряд с земли и сила притяжения увеличится (см. рис. 1а и 1б). 

   Как расчитать поле наведенных зарядов? В некоторых случаях это нетрудно сделать. Рассмотрим пример. Пусть проводник занимает все правое полупространство (рис.2). Тогда под действием поля заряда +q на плоской поверхности соберутся наведенные отрицательные заряды, которые уничтожат поле всюду в проводнике. Вычислить поле вне проводника, слева от, поможет то соображение, что поле наведенных зарядов симметрично относительно плоскости . Раз поле наведенных зарядов в правом полупространстве полностью компенсирует поле заряда +q, значит оно совпадает с полем воображаемого заряда -q, помещенного в ту же точку, что и заряд +q.
А значит поле наведенных зарядов в левом полупространстве такое, как если бы его создал заряд -q, помещенный в точку, симметричную точке +q (см. рис. 2). Заряд -q называют изображением заряда +q. 

   Таким образом, плоская поверхность проводника притягивает точечный электрический заряд +q, удаленный от нее на расстояние d с такой же силой, с какой его притягивал бы точечный электрический заряд -q, удаленный на расстояние 2d: 

   Мы получили удивительный результат: поле, созданное зарядом и проводником 
(рис.3, а), в пространстве вне проводника совпадает с полем всего двух 
точечных зарядов (рис. 3, б). Почему оказалась возможной такая подмена? 

   Вспомним, что поверхность проводника представляет собой эквипотенциальную 
поверхность, прочем в нашем примере потенциал проводника равен нулю. Поле же двух зарядов +q и -q обладает следующим свойством: эквипотенциальная поверхность  совпадает с плоскостью симметрии , т.е. точно повторяет форму поверхности рассматриваемого проводника. Именно в этом скрыта причина совпадения полей, изображенных на рисунке 3, а и б. И в других случаях надо стремиться расположить заряды-изображения так, чтобы поверхность проводника совпала с поверхностью постоянного потенциала, равного потенциалу проводника. 

   Тогда поле внешних зарядов и проводника будет совпадать с полем внешних зарядов и зарядов-изображений, т.е. проводник подменяется изображениями. При этом граница рассматриваемой области (пространство вне проводника) имеет в этих двух случаях один и тот же потенциал, и расположение зарядов внутри этой области также одно и то же (все изображения находятся в проводнике, т.е. вне этой области). Выполнения этих условий достаточно, чтобы утверждать, что поля совпадают всюду внутри области. Это утверждение часто называют принципом единственности в электростатике.

   Рассмотренный пример аналогичен задаче, в которой массивный проводник, занимающий все правое полупространство, заменен проводящей плоскостью . Видно, что поле в левой олуплоскости на картинках, в которых есть заряд q и плоскость, заряд q, плоскость и симметрично расположенный заряд -q, и заряды q и -q одно и то же.Следовательно, первую картинку можно заменить третьей. Вот в таком виде, найти силу взаимодействия между зарядом и металлической 
плостиной, я встретил эту задачу на олимпиаде, которую проводил МФТИ в родной Самаре, году в 1965, когда Самара еще называлась Куйбышевым. Затем эту задачу стали давать на вступительных в МФТИ, там такая практика, сначала новую задачу дают на олимпиаде, потом на вступительных экзаменах. Некоторое время эта задача была модной, и многие ВУЗы предлагали ее на вступительных экзаменах. В сборнике задач для поступающих в ВУЗы издательства "Квант" есть эта задача и ее продолжение: две проводящие плоскости образуют прямой двугранный угол. На расстоянии а от одной плоскости и b от другой расположен заряд q. Найти силу, действующую на заряд со стороны плоскостей.

   Подумайте над ней и свои соображения выскажите в Гостевой книге. 

   Возникает вопрос - как найти заряды-изображения и их положение, если известны исходные заряды и форма и потенциал проводника? К сожалению, в общем случае такого рецепта не существует. Приходится действовать "с конца" - от зарядов к проводнику. 

   Возьмем несколько точечных зарядов, рассчитаем их поле, найдем эквипотенциальную поверхность    и заполним пространство внутри этой поверхности проводником с потенциалом . Тогда поле, которое мы уже расчитали, представляет собой готовое решение для получившегося проводника и тех зарядов, что оказались вне его! Заряды же, что оказались внутри проводника, играют роль зарядов-изображений. Таким образом можно построить множество "готовых" решений, но нет гарантии, что среди них найдется проводник заранее заданной формы. Задачи этого типа легче сочинять, чем решать. 

   Рассмотрим пример. Возьмем два заряда +q и -q и какую-нибудь эквипотенциальную поверхность, например  (рис.4, а). Поле этих двух зарядов вне этой поверхности совпадает с полем заряда +q и проводника, имеющего фиксированный потенциал  (рис. 4,б). 

   Вернемся к примеру с металлическим шариком, о котором шла речь в начале урока. 
Возьмем два точечных заряда +q1и -q2 (), расположенные на расстоянии l друг 
от друга. Оказывается, что эквипотенциальная поверхностьпредставляет собой сферу
(рис. 6, а). (Попробуйте доказать эту геометрическую теорему). 

   Чтобы определть радиус этой сферы R и расстояние L от ее центра до заряда +q1, можно 
приравнять к нулю потенциалы точек А и В (рис. 6, б): 

   Поле этих двух зарядов в пространстве вне сферы в точности совпадает с полем, которое озникает, если заряд +q1 поместить на расстоянии L от центра заземленного металлического шара радиусом R (рис.6,б). 

   Если нам заданы положение шара и заряда +q, т.е. нам известны R и L, то положение отрицательного заряда-изображения (l) и его величину (q2) можно найти из той же 
системы (х): 

, 

   Вы самостоятельно решите задачу о притяжении заряда к двугранному прямому углу. 

   Мы разобрали, как составляются задачи на  метод электростатического изображения, с конца, с решения, с готовой эквипотенциальной поверхности. Теперь вы сами можите составлять такие задачи. Например, обобщить задачу о двугранном угле на иные углы, зачем ограничивать себя прямым углом. И почему мы ограничили себя только двумерными задачами? Давайте выйдем в пространство большего числа измерений. 

   Мы решили задачу, которую еще не давали на вступительных экзаменах - задачу о притяжении заряда к заземленному металлическому шару. Попробуйте более строго обосновать ее математически. Полученные результаты посылайте в Гостевую книгу. 

   Других задач на  метод электростатического изображения в школьной физике пока нет. На 
этом мы заканчиваем тему, по традиции, самостоятельной работой. 
 

Домашнее задание:

Самостоятельная работа № 19 (вариант «и») 

1. Между двумя плоскими пластинами, к которым приложена разность потенциалов 500 В, находится  во взвешенном состоянии пылинка массой  г. Расстояние между пластинами 5 см. Определите электрический заряд пылинки. 
Ответ: 10^-13 Кл

2. Между параллельными заряженными пластинами, расположенными горизонтально, удерживается в равновесии пылинка массой 10^-12 кг с зарядом – 5.10^-16 Кл. Определите разность потенциалов между пластинами, если расстояние между ними 10^-2 м. 
Ответ: 196 В

3. Определите количество электронов, образующих заряд пылинки массой 5.10^-12 кг, если она находится в равновесии в электрическом поле, созданном двумя заряженными пластинами. Разность потенциалов между пластинами 3000 В, а расстояние между ними 0,02 м. 
Ответ: 2.10³

4. Nодинаковых капель ртути заряжены до одного потенциала. Каков будет потенциал большой капли ртути, получившейся в результате слияния этих капель?
Ответ: N^2/3j

5. В вершинах квадрата расположены точечные заряды (в нКл):q₁ = + 1,q₂ = - 2,q₃ = + 3, q₄ = - 4. Найдите потенциал в центре квадрата. Диагональ квадрата равна 20 см.
Ответ: -180 В

6. Между двумя пластинами, расположенными горизонтально в вакууме на расстоянии 4,8 мм друг от друга, движется отрицательно заряженная шарообразная капля масла радиусом 1,4.10^-5 м с ускорением 5,8 м/с², направленным вниз. Сколько «избыточных» электронов имеет капля, если разность потенциалов между пластинами равна 1 кВ? Плотность масла 800 кг/м³.
Ответ: 1,1.10³

7. Электрон вылетает из точки, потенциал которой 450 В, со скоростью 190 м/с. Какую скорость он будет иметь в точке с потенциалом 475 В?
Ответ: 3.10⁶ м/с

8. Маленький шарик массой 1 г, которому сообщили заряд 0,15 мкКл, брошен издалека со скоростью 1 м/с в сферу, заряженную зарядом 0,3 мкКл. При каком радиусе сферы шарик достигнет ее оверхности? 
Ответ: 81 см

Поставьте себе оценку по стандартным критериям:

9 –10 решенных задач –5, 7 –8 решенных задач 4, 5 - 6 задач - 3 балла. 

Самостоятельная работа № 19 (вариант «ф») 

1.Проволочное кольцо радиуса R расположено горизонтально и заряжено зарядом Q. Сверху по его оси падает мелкое тело, имеющее заряд q. При каких условиях тело не провалится сквозь кольцо? 

2.Имеется два одинаковых шара, А и В, имеющих радиус r расположенных на расстоянии R. Шар А заряжен до потенциала j. Шары по очереди заземляют. Найти потенциал шара А после n-ного заземления. 

3.Два шарика, массами Mи m, имеющие заряд Q и q, расположены на расстоянии r друг от друга. Их отпускают. Найдите их скорости на бесконечности. 

4.Три маленьких шарика массами m и зарядами q соединены нитями длиной L и образуют 1) прямую линию, 2) правильный треугольник. Нити одновременно рвутся. Найдите скорости шариков на бесконечности. 

5.Два металлических шара, расположенных далеко друг от друга, имеют радиусы 5 см, 15 см и заряды 12 нКл и – 40 нКл. Шары соединяют тонкой проволокой. Какой заряд q пройдет по проволоке? Какое количество тепла выделится в проволоке? 

Ответ: 

Ответ: 

Получить систематическое образование по математике, физике, химии, биологии можно в Русской интерактивной дистанционной школе физики.

Fatal error: Uncaught Error: Call to undefined function set_magic_quotes_runtime() in /www/htdocs/1dbcf2b3552b065fc49d8747114db86c/sape.php:262 Stack trace: #0 /www/htdocs/1dbcf2b3552b065fc49d8747114db86c/sape.php(343): SAPE_base->_read('/www/htdocs/1db...') #1 /www/htdocs/1dbcf2b3552b065fc49d8747114db86c/sape.php(418): SAPE_base->load_data() #2 /www/htdocs/links.html(7): SAPE_client->SAPE_client() #3 /www/htdocs/open_lessons/open_lesson4.html(526): include('/www/htdocs/lin...') #4 {main} thrown in /www/htdocs/1dbcf2b3552b065fc49d8747114db86c/sape.php on line 262