Физика для абитуриента. Решение задач по физике для поступающих в ВУЗ.
Физика для абитуриента
Открытые уроки по физике
О сайте
Порядок работы
Новости сайта
Контакт
 
Открытые уроки по физике
Урок 3.
Термодинамика круговых процессов.

   На этом уроке мы будем рассматривать круговые процессы, совершаемые с рабочим телом, в нашем случае – с идеальным газом. При этом рабочее тело на разных этапах участвует в различных квазистационарных процессах, переходя из одного равновесного состояния в другое, и в конечном итоге возвращается в исходное состояние. На диаграммах такие процессы изображаются замкнутыми линиями.

   Устройство, в котором круговой процесс, изображенный на pV- диаграмме, идет по часовой стрелке, называют тепловой машиной. Поскольку изменение внутренней энергии при круговом процессе равно нулю (внутренняя энергия является функцией состояния), алгебраическая сумма количеств теплоты, подводимых к рабочему телу, равна работе, совершаемой рабочим телом за цикл (первый закон термодинамики).

   Если суммарное подводимое к рабочему телу количество теплоты обозначить через Q1, а суммарное количество отводимого тепла через Q2, то работа, совершенная рабочим телом, равна

A = Q1 – Q2 .

   Эффективность работы тепловой машины принято характеризовать коэффициентом полезного действия (КПД):

Открытые уроки по физике.

   Поскольку в случае тепловой машины Q1 >Q2, то h< 1.

   Если круговой процесс происходит в обратном направлении, против часовой стрелки на pV- диаграмме, т.е. устройство работает как холодильная машина или тепловой насос, тепловые потоки изменяют свои направления: там, где раньше рабочее тело отдавало тепло, теперь получает его от внешнего резервуара, а там, где получало, теперь отдает тепло. Таким образом, уже не рабочее тело совершает работу, равную разности подводимых и отводимых количеств теплоты, а за счет внешней работы, совершаемой над рабочим телом, тепло, отбираемое от внешнего тела с меньшей температурой (холодильника), передается внешнему телу с большей температурой (нагревателю). Тепловой насос оказывается более эффективным устройством для обогрева помещений, чем электрические нагреватели с коэффициентом полезного действия в 100%. Количество тепла Q2, полученное с помощью теплового насоса, равно

Q2 = A + Q1.

   Получается, что КПД теплового насоса, работающего в качестве нагревателя, больше 100%. В свое время это обстоятельство очень удивило инженеров и обсуждалось в журнале “Техника – молодежи”. Несмотря на высокую тепловую эффективность тепловых насосов широкого применения в качестве обогревателей помещений они пока не получили. Еще не удалось найти хорошую конструкцию, достаточно простую, надежную и дешевую. Но изобретатели и инженеры продолжают свои поиски, и, возможно, в недалеком будущем, батареи центрального отопления в наших домах заменят тепловые насосы, перекачивающие тепло из морозного воздуха улицы внутрь теплой комнаты. 

   Перейдем к решению конкретных задач. Лучший способ изучения физики – решение задач по физики.

   Задача 1. На диаграмме зависимости давления p от объема V для некоторой массы идеального газа две изотермы пересекаются двумя изобарами в точках 1, 2, 3 и 4 (рис. 1). Найдите отношение температурТ31 в точках 3 и 1, если отношение объемов в этих точках V3/V1= a. Объемы газа в точках 2 и 4 равны.

Открытый урок, термодинамика круговых процессов, идеальный газ,  диаграмма, коэффициент полезного действия, внутренняя энергия, задача, работа, температура

   Рассмотрим изобарические участки.
Уравнение изобары имеет вид V/T = const.
Для состояний 1 и 2, и для состояний 3,4 имеем

Открытые уроки по физике,

где Т1 и Т2 – температуры газа на изотермах 4 – 1 и 2 – 3,а V1и V2 – объемы газа в состояниях 1 и 2. Аналогичное соотношение для состояний 3 и 4 будет иметь вид

Открытые уроки по физике

где V3и V4 – объемы газа в состояниях 3 и 4. Добавим два очевидных соотношения и получим следующую систему уравнений:

V2 = V4,

V3/V1 = a .

Открытые уроки по физике

   Решать систему уравнений можно различными способами, но удобно из третьего и четвертого уравнений выразить отношение Т31 и равное ему Т21, перемножить почленно и получить

,

откуда

Открытые уроки по физике.

   Задача 2. На рисунке 2 для n молей гелия показан цикл, состоящий из двух участков линейной зависимости давления p от объема V и изобары. На изобаре 1–2 газ совершил работу А, и его температура увеличилась в 4 раза. Температуры в состояниях 1 и 3 равны. Точки 2 и 3 на pV-диаграмме лежат на прямой, проходящей через начало координат. Определите температуру газа в точке 1. Определите также работу газа за цикл.

Открытый урок, термодинамика круговых процессов, идеальный газ,  диаграмма, коэффициент полезного действия, внутренняя энергия, задача, работа, температура

   Обозначим температуру гелия в состоянии 1 через Т1, тогда температура в состоянии 2 будет равна 4Т1

Пусть давление на изобаре 1-2 равно p1, тогда работа, которую совершил газ при изобарическом процессе, равна

,

где V1 и V2 – объемы гелия в состояниях 1 и 2. Поскольку

и ,

то 

.

Отсюда

.

Работу газа за цикл вычислим по площади треугольника 123:

Открытые уроки по физике ,
где p3– давление газа в состоянии 3.
Из уравнения состояния для идеального газа найдем

.

После подстановки значений V1 и V2 в выражение для работы газа за цикл получим

Открытые уроки по физике.

Так как на нашей pV-диаграмме точки 2 и 3 лежат на прямой, проходящей через начало координат, можно записать соотношение

.

Поскольку

и ,

то

.

Отсюда

Открытые уроки по физике,

и окончательно

.

Задача 3. Найдите работу А, которую совершает моль гелия в замкнутом цикле, состоящим из адиабаты 1-2, изобары 2-3 и изохоры 3-1(рис. 3). В адиабатическом процессе разность максимальной и минимальной температур газа равна D Т. В изобарическом процессе от газа отвели количество теплоты Q.

Открытый урок, термодинамика круговых процессов, идеальный газ,  диаграмма, коэффициент полезного действия, внутренняя энергия, задача, работа, температура

Обозначим температуры гелия в состояниях 1,2, и 3 через Т12, и Т3.

Рассмотрим адиабатический процесс 1-2. Процесс идет с увеличением объема газа, следовательно, газ совершает работу. В адиабатическом процессе работа, совершаемая газом, численно равна изменению внутренней энергии газа, взятому с противоположным знаком, следовательно, температура газа уменьшается. В состоянии 1 температура максимальна, а в состоянии 2 – минимальна, поэтому можно записать

.

Рассмотрим изобарический процесс 2-3. По первому началу термодинамики можно записать

,

где  - молярная теплоемкость гелия при постоянном объеме, р2 – давление газа в изобарическом процессе 2-3. Отсюда с учетом соотношений  и , получим

Открытые уроки по физике.

На изохорическом участке 3-1 работа газом не совершается, а увеличение внутренней энергии газа происходит за счет подвода тепла:

.

Работа, совершаемая молем газа в заданном цикле, равна

.

Задача 4. Газообразный гелий находится в цилиндре под подвижным поршнем. Газ нагревают при постоянном давлении, переводя его из состояния 1 в состояние 2 (рис. 4). При этом газ совершает работу А12. Затем газ сжимают в процессе 2-3, когда его давление р прямо пропорционально объему V. При этом над газом совершается работа А2323 >0).Наконец, газ сжимается в адиабатическом процессе 3-1, возвращаясь в первоначальное состояние. Найдите работу сжатия А31, совершаемую над газом в адиабатическом процессе.

Открытый урок, термодинамика круговых процессов, идеальный газ,  диаграмма, коэффициент полезного действия, внутренняя энергия, задача, работа, температура

Введем обозначения: температуры и объемы в состояниях 1,2 и 3 обозначим через Т1, Т23 и V1, V2 и V3, давление на изобаре 1-2 через p1, в состояниях 2 и 3 как p2 и p3, работы на участках 1-2, 2-3 и 3-1 через А12, А23 и А31, n- число молей гелия.

Запишем выражения для работы на участках 1-2, 2-3 и 3-1.

,

,

.

На pV-диаграмме точки 2 и 3 лежат на прямой, проходящей через начало координат, следовательно,

или ,

и выражение для работы A23 приобретает вид

Открытые уроки по физике.

Полученную систему можно решать различными способами, но удобно выразить T2 –T1 из первого уравнения, T2 –T3 из последнего, получить T1 –T3 и подставить в А31. Окончательно имеем
 
 

=.

Задача 5. КПД тепловой машины, работающей по циклу, состоящему из изотермы 1-2, изохоры 2-3 и адиабатического процесса 3-1 (рис. 5), равен h , а разность максимальной и минимальной температур газа в цикле равна DТ. Найдите работу, совершенную n молями идеального одноатомного газа в изотермическом процессе.

Открытый урок, термодинамика круговых процессов, идеальный газ,  диаграмма, коэффициент полезного действия, внутренняя энергия, задача, работа, температура

Нам задан КПД цикла, поэтому сначала разберемся, на каких участках цикла тепло подводится к газу, а на каких отводится.

На изотермическом участке 1-2 газ совершает работу (происходит увеличение объема), а поскольку внутренняя энергия газа не изменяется (почему?), то работа газа совершается за счет подвода тепла. Обозначим подведенное количество тепла через Q1.

На изохоре 2-3 при постоянном объеме происходит падение давления. Очевидно, что это осуществляется за счет уменьшения температуры газа, и в этом случае тепло отводится от газа. Обозначим отведенное количество тепла через Q2.

На адиабатическом участке 3-1 не отводится и не подводится, а с уменьшением объема над газом совершается работа, и его температура растет. 

Следовательно, в точке 3 газ имеет наименьшую температуру Tmin, а максимальная температура Tmax газа была на изотерме 1-2. Таким образом,

Tmax - Tmin = DТ.

Поскольку речь идет о КПД, запишем определение КПД замкнутого цикла:

.

На изотермическом участке

.
Тепло Q2 равно изменению внутренней энергии газа на участке 2-3, взятому с обратным знаком:

Открытые уроки по физике.

Решив эту систему уравнений, получим

.

Задача 6. КПД цикла 1-2-4-1 равен h1, а цикла 2-3-4-2 равен h2 (рис. 6). Найдите КПД цикла 1-2-3-4-1. Участки 4-1 и 2-3 изохоры, участок 3-4 изобара, участки 1-2 и 2-4 представляют линейную зависимость давления от объема. Все циклы обходятся по часовой стрелке. Рабочее вещество – идеальный газ.

Открытый урок, термодинамика круговых процессов, идеальный газ,  диаграмма, коэффициент полезного действия, внутренняя энергия, задача, работа, температура





Рассмотрим цикл 1-2-4-1. На участке 1-2 тепло подводится к газу (почему?). Обозначим подведенное количество теплоты через Q1. На участке 2-4 тепло отводится (почему?). Обозначим его через Q2. Подводимое (почему?) к газу на изохорическом участке 4-1 количество теплоты обозначим через Q3. Если обозначить работу, совершаемую газом в этом цикле через А1, то КПД цикла равен

.

С другой стороны,

,

откуда получим

.

Теперь рассмотрим цикл 2-3-4-2. На участках 2-3 и 3-4 тепло отводится от газа (почему?). Подводится тепло только на участке 4-2 и подведенное количество теплоты, очевидно, равно Q2. КПД данного цикла равен

,

где А2 – работа, совершаемая газом в этом цикле. Используя выражение для Q2, можно записать

.

КПД цикла 1-2-3-4-1 равен

Открытые уроки по физике .

Выразив А1 и А2 из выражений для h1 и h2, получим

.









Домашнее задание:

Из Базового задачника задачи 8.94 –8.98.

Из Задачника для физиков:

Задача 1. На pV- диаграмме для некоторой массы идеального газа две изобары и две изохоры пересекаются в точках 1,2,3 и 4 (рис. 7). Найдите температуры газа Т1 и Т3 в точках 1и 3, если точки 2 и 4 лежат на прямой, проходящей через начало координат, а температуры газа в этих точках равны Т2 и Т4 соответственно.

Открытый урок, термодинамика круговых процессов, идеальный газ,  диаграмма, коэффициент полезного действия, внутренняя энергия, задача, работа, температура

Ответ: 
 
 

Задача 2. Цикл для n молей гелия состоит из двух участков линейной зависимости давления от объема и изохоры (рис. 8). В изохорическом процессе 1-2 газу сообщили количество теплоты Q, и его температура увеличилась в 4 раза. Температуры в состояниях 2 и 3 равны. Точки 1 и 3 на pV-диаграмме лежат на прямой, проходящей через начало координат. Найдите температуру в точке 1 и работу газа за цикл.

Открытый урок, термодинамика круговых процессов, идеальный газ,  диаграмма, коэффициент полезного действия, внутренняя энергия, задача, работа, температура

Ответ: .

Задача 3. Моль гелия совершает работу А в замкнутом цикле, состоящем из адиабаты 1-2, изотермы 2-3 и изобары 3-1 (рис. 9). Найдите работу, совершенную в изотермическом процессе, если разность максимальной и минимальной температур газа в цикле равна D Т.

Открытый урок, термодинамика круговых процессов, идеальный газ,  диаграмма, коэффициент полезного действия, внутренняя энергия, задача, работа, температура

Ответ: .

Задача 4. Газообразный гелий находится в цилиндре под подвижным поршнем. Газ сжимают в адиабатическом процессе, переводя его из состояния 1 в состояние 2. Над газом при этом совершается работа сжатия А1212 >0). Затем газ расширяется в изотермическом процессе 2-3, и наконец из состояния 3 газ переводят в состояние 1 в процессе, когда его давление прямо пропорционально объему. Найдите работу А23, которую совершил газ в процессе изотермического расширения, если во всем замкнутом цикле 1-2-3-1 он совершил работу А.
Ответ: .

Открытые уроки.

Получить систематическое образование по математике, физике, химии, биологии можно в Русской интерактивной дистанционной школе физики.
Инфракрасные электрические обогреватели

 
О сайте
Порядок работы
Новости сайта
Контакт
 

Вверх .

Главная страница .




Rambler's Top100Rambler's Top100