Физика для абитуриента. Решение задач по физике.
Природа
№ 10, 11, 12 (1998)
© В.П. Смилга
Десять историй о математиках и физиках
(с авторскими резюме)

В. П. Смилга

Смилга Вольдемар Петрович, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Российского научного центра «Курчатовский институт», профессор кафедры теоретической физики МФТИ. Область научных интересов — мюонный метод, ядерные методы исследования вещества, физикохимия поверхностей. Автор трех монографий и двух научно-популярных книг: «Очевидное - нет, еще неизведанное» (М., 1961), «В погоне за красотой» (М., 1965).
 
Глядя на мир, нельзя не удивляться.

Плюнь тому в глаза, кто скажет, что можно объять необъятное.

Козьма Прутков

ПОСМОТРЕВ на эпиграфы, проницательные читатели, без сомнения, угадали: автор не претендует на сколько-нибудь последовательный и связный рассказ. Причин тому тьма, и главная - во втором эпиграфе.

Попытаемся кое-что прояснить. Начнем с вопроса: а что же это, собственно, такое - математика? С физикой несколько проще. Интуитивно все представляют себе: физика исследует наш реальный мир и его законы. Пусть это достаточно расплывчатые слова, однако суть поймана.

До недавнего времени обычно уточняли: физика изучает неживую природу. Сегодня, в эпоху расцвета биофизики, «уточнение» безнадежно устарело.

Но для математики ответ не столь ясен. Картина окажется еще туманней, если задуматься, почему математика так поразительно эффективна при анализе бесконечно разнообразных явлений природы, адекватно описывая наш мир.

Математика, как известно, "царица и служанка всех наук". Наука становится наукой постольку, поскольку в нее проникает число - примерно так писал замечательный французский математик Эмиль Борель. И если говорить о связи математики и физики, то, на первый взгляд, вообще трудно различить, где кончается математика и начинается теоретическая физика.

Что касается физики экспериментальной - тут более или менее ясно. Эксперимент - это эксперимент. А вот теоретическая физика - это, казалось бы, просто глава математики. Кстати, иногда так и думают.

Но вот Л.Д .Ландау любил повторять, что математики доказывают теоремы для собственного удовольствия, а для физика-теоретика самое опасное - перегрузиться математической ученостью. Можно, конечно, спорить с такой позицией, но, вероятно, нельзя отказать Ландау в праве иметь свои соображения о теоретической физике. И Ландау далеко не одинок. Пожалуй, не найдешь ни одного крупного физика-теоретика, который в той или иной форме не подшучивал бы над математикой и математиками.

Правда, математики тоже не безответные агнцы. Еще Давид Гильберт (один из признанных острословов среди знаменитых ученых) говорил: "В сущности, теоретическая физика слишком трудна для физиков". Но сам он, хотя и пробовал заниматься теоретической физикой (общей теорией относительности), успеха не добился, и Эйнштейн характеризовал его работы как "жульничество сверхчеловека" (обычно корректно переводят - "плутни" - В.С.).

Конечно, все это легкое взаимное подкалывание следует понимать "в пиквикском смысле". Реально - профессионалы столь смежных областей весьма и весьма уважают и ценят друг друга. Но нам сейчас важно, что все они - и физики-теоретики, и математики - полагают: "науки наши разные". И, очевидно, им приходится верить, потому что кому же в конце концов судить, как не им.

Можно много и долго рассуждать, повторяя умные слова, которые говорились по этому поводу. Но, может, разумней просто рассказать несколько историй, притч - как вам угодно, а там вы вольны сами делать выводы. Впрочем, я как автор, конечно, не смогу удержаться от назидательного резюме.

В общем, думаю, нам полезно прислушаться к замечанию Исаака Ньютона, который как-то обмолвился: "При изучении наук примеры полезнее правил".

ИСТОРИЯ ПЕРВАЯ

В 1924 г. тридцатисемилетний профессор Цюрихского университета Эрвин Шредингер прочитал работу Луи де Бройля, в которой движение свободных частиц сопоставлялось с некими волнами материи. Что это за волны, как их интерпретировать, как частица может одновременно обладать и волновыми свойствами - все это абсолютно не было понятно тогда, да и сейчас до конца неясно (здесь я могу сослаться на такие авторитеты, как Р.Фейнман и П.Дирак). При всех блестящих успехах квантовой теории, при всех ее фантастических достижениях, при том, что в наши дни многие ее разделы стали уже инженерными дисциплинами (как сопромат, например), логическая структура теории и ее суть до сих пор достаточно туманны.

Но сейчас разговор не об этом, а о том, что Шредингеру была чрезвычайно несимпатична концепция Нильса Бора о "квантовых скачках". Повторяю: у нас нет возможности даже поверхностно анализировать любую из проблем, о которой будет идти речь, поэтому все дальнейшее - это маленькое собрание притч.

Итак, концепция Бора не увлекала Шредингера. С другой стороны, имел место несомненный экспериментальный факт: атомные спектры дискретны, а теория Бора - симпатична она или нет - объясняет закономерности этих спектров.

Но в классической физике давно была известна огромная область, в которой регулярно встречались с дискретными решениями. Именно: теория волн. Например, струна, закрепленная на концах, может колебаться только с определенными частотами. Число возможных частот бесконечно, но их значения каждый раз строго определены. Они не могут быть любыми. Это дискретный набор. Все частоты кратны одной - основной. То же самое мы видим при колебаниях мембран; или воздуха в органных трубах.

Вот, собственно, и все.

Кстати, если быть совсем точным, смутную идею о том, что частицы могут обладать волновыми свойствами, еще до де Бройля высказывал Эйнштейн, а до него и Ньютон. Эйнштейн также первым обратил внимание научной общественности на работы де Бройля. Тем не менее большинство физиков восприняло идеи де Бройля весьма скептически (благо, найти слабые, неясные места у него было нетрудно).

Большинство, но не Шредингер.

Он решил написать какое-либо волновое уравнение для электрона и атома. Попросту он хотел провести какую-то аналогию между атомом и струной, или, если угодно, колебаниями жидкости в сосуде, или колебаниями электромагнитного поля в резонаторе.

Физики прекрасно знали, что колебательные процессы встречаются в самых различных разделах их науки. Но до сих пор всегда, когда писали волновые уравнения, было ясно по меньшей мере то, какой физический смысл имеет функция, для которой написано уравнение. Шредингер же совершенно не понимал, что такое его функция. Более того, он позже признавался, что даже не подозревал, какой успех ожидает его уравнение. Он пробовал.

Пробовал, потому что интуиция подсказывала: здесь что-то есть.

Но первая попытка, как рассказывает Дирак, закончилась печально. Шредингер ошибся (собственно, не ошибся, а не учел спин электрона, тогда еще неизвестный), и результаты его теории не совпали с экспериментом.

Реакция - типична для физика. Если теория не согласуется с опытом, метод порочен. И на несколько месяцев он забросил работу. Лишь позже Шредингер заметил, что, если ограничиться частным нерелятивистским случаем его теории, она дает правильные результаты. Тогда-то он и опубликовал свою работу, первую из тех, что привели к созданию волновой механики.

Мораль. В этой грубой, неточной схеме тем не менее можно усмотреть, как физик-теоретик приходит к открытию (в нашем случае - гениальному). Никакой логической строгости. Интуиция. Догадки. Аналогии. Сравнение с экспериментом. Если какая-то, пусть совершенно неясная, но внутренне непротиворечивая логическая схема приводит к совпадению с опытом - значит, "тут что-то есть".

А что именно - прояснит будущее. Может оказаться - и так было не раз, - что совпадение с опытом чисто случайно. Что угадан лишь ничтожный кусочек реальной картины. Может оказаться - и так было со Шредингером, - что вы нашли истину.

И еще одно: теория должна быть красива. Физик не всегда может логически обосновать новые идеи. Поэтому он апеллирует к интуиции. А если так - красота далеко не последний аргумент. Об этом много и настойчиво говорил Эйнштейн.

* * *

На первый взгляд кажется: систематический стиль мышления полностью противоположен подходу физика. Более того - враждебен.

Действительно, со времен Евклида в математике (в любом ее разделе) полновластно царствует аксиоматический метод, или дедуктивный. В грубых чертах он сводится к следующему. Математик строит некую абстрактную аксиоматическую, или дедуктивную, систему.

Это означает вот что.

Доказать какую-либо теорему (утверждение) в дедуктивной системе значит показать: эта теорема есть необходимое логическое следствие ранее доказанных теорем, которые были доказаны на основе других теорем, которые... и т.д.

А теперь главное.

Понятно, эту нескончаемую цепочку необходимо оборвать волевым образом, иначе процесс любого доказательства также окажется нескончаемым и, следовательно, бессмысленным. Поэтому некоторые теоремы принимают как "данные свыше": они истинны и доказательства не требуют.

Как хорошо известно, назвали их аксиомами, или постулатами. Они - "символ веры" в данной области математики, если говорить на языке теологии, или, скажем, "устав караульной службы" - на армейском. Уставы не обсуждаются! Но выполняются.

На основе аксиом математик доказывает или опровергает (точнее - пытается доказать или опровергнуть) все другие теоремы чисто логическим путем.

Выбранные нами базисные аксиомы должны удовлетворять достаточно жестким требованиям.

Необходимо, чтобы:

Таков был идеал математиков. Однако в 1930 г. К.Гедель доказал, что для любой достаточно содержательной, богатой аксиоматической структуры (например, наша арифметика) последнее требование вообще невозможно выполнить. Именно: всегда найдется утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Конечно,это утверждение можно объявить новой аксиомой. Но тогда в исправленной системе снова найдется утверждение, которое нельзя... И так до бесконечности.

Желательно, чтобы:

Выбор той или иной системы аксиом в известной степени произволен. Но любые различные системы должны удовлетворять требованиям а) и б).

Ясно, что, говоря о необходимости введения первичных объектов и основных соотношений между ними, мы буквально повторяем всю логику, которая привела нас к необходимости появления аксиом. Например, пусть мы доказываем какие-либо теоремы для треугольника... или семиугольника, или куба. Прежде всего, само собой, следует определить, что это за звери. В процессе определения с помощью более простых объектов мы непременно придем к необходимости оборвать в какой-то момент цепочку определений. Или - объявить какие-то объекты первичными. Повторим: они не определяются, а просто называются. В неявном виде свойства первичных объектов (или понятий) определяются аксиомами.

Итак, вводим аксиоматическую систему, а далее торжествует строгая безукоризненная логика. Полная противоположность работе физика-теоретика!

Все это очень красиво, притягательно и, как всякая идеальная схема, порой имеет к реальной жизни несколько отдаленное отношение. Но об этом чуть позже. Сейчас посмотрим на другой, пожалуй, более важный вопрос.

Совершенно абстрактные логические схемы, придуманные либо вне всякой связи с реальностью, либо для очень специальных и малоинтересных задачек, вдруг оказывались идеальным и мощным инструментом для познания реального мира.

Вот пример. Один из многих, но, быть может, самый эффектный.

В наше время теория вероятностей - это математический фундамент и квантовой механики, и статистической физики. Теория вероятностей применяется при определении структуры галактик, вычислении скоростей химических и ядерных реакций, расчете суммы страховых премий, составлении артиллерийских таблиц и... проще пересчитать, где ее нет.

В блестящей двухтомной монографии В.Феллера "Введение в теорию вероятностей и ее приложения" (М., 1984) автор между прочим сообщает, что американские невесты следят за статистикой, оценивая свои шансы выйти замуж. Вполне можем поверить. Хотя умы девушек, как правило, не слишком засорены математикой, но каждая встречная вам объяснит, что Иваново - "город невест", а военный городок N предоставит изрядный набор женихов.

А в пору своего рождения (тому примерно четыре века) теория вероятностей использовалась исключительно при анализе азартных игр. Проблема, несомненно, прикладная, для некоторых и весьма актуальная, но, согласимся, все же не фундаментальная и всеобъемлющая.

Быть может, теория вероятностей - самый поразительный раздел математики, ибо она устанавливает четкие, строгие закономерности для тех явлений, где изначально никаких законов вроде бы нет.

Каждое отдельное событие совершенно случайно, но у нас нет места для серьезного разговора о математической статистике и теории вероятностей. Ограничимся замечанием: исключительное значение теории вероятностей - в том, что очень часто "наивный здравый смысл" (или наша интуиция) не в состоянии даже грубо предугадать ее выводы. Более того, они (выводы) могут просто противоречить интуитивным представлениям.

Вот один забавный пример. У военных, врачей, геологов бытует некое поверье - "закон парных случаев". Суть в том, что если произошло какое-то достаточно неординарное событие (катастрофа, редкое заболевание и т.п.), то в тот же день (или очень скоро) аналогичное событие совершенно независимо повторится еще раз. Это кажется столь странным, что, натурально, стали приплетаться разнообразные потусторонние резоны.

На самом деле мы встречаем тут элементарное, но поражающее воображение следствие теории вероятностей плюс свойство человеческой психики - запоминать странное. Любознательный читатель, уверен, получит удовольствие, встретившись с этой темой во второй главе книги Феллера.

Вот другой пример. Еще в древности греки, индусы, китайцы, египтяне обнаружили замечательные закономерности и восхитительные загадки в свойствах чисел, причем с практикой это не имело ни малейшей связи. Но все было столь красиво и загадочно, что математики занимались абстрактными объектами интеллекта, быть может, даже с большим увлечением, чем геометрией, астрономией, созданием механизмов. Само собой появилась идея: числа - язык богов, они олицетворяют некую высшую идею мироздания, выражают нечто сокровенное.

Правда, ни тогда, ни теперь никто не смог бы разъяснить точный смысл такого рода возвышенных констатаций (как всегда, коль разговор заходит о боге или богах), но некоторый резон тут есть. (Запомним! Мы еще вернемся к этому.)

Как бы то ни было, идеи эти (у греков наиболее отчаянно их проповедовали пифагорейцы) повлияли на математиков и физиков в средние века (да и в наши дни также имеют хождение).

Исследуя свойства чисел, греки продвинулись основательно. Особо математиков поразило открытие иррациональных чисел (что видно из самого названия). Мир чисел оказался значительно богаче и сложней, чем представлялось поначалу. Видимо, появление иррациональных чисел было продиктовано геометрией, хотя Евклид доказал свою знаменитую теорему чисто алгебраически.

Сейчас это — хорошо известная школьная теорема: если n/m - несократимая дробь, то не существует таких n и m, чтобы выполнялось равенство n2/m2 = 2.

Иррациональные числа смутили адептов божественного порядка в мире чисел, но не поколебали.

Из теоремы, в частности, следует: иррациональных чисел вида, например, корень n-ой степени из р , где n - натуральное, а p - простое, неизмеримо больше, чем рациональных. Заметим, впрочем, что на самом деле проблема - "кого больше" существенно хитрей, если разговор идет о "бесконечных множествах". Теория множеств тогда, конечно, была неизвестна, но простая идея, что каждому рациональному числу (целому или дроби) можно поставить в соответствие бесконечно много иррациональных, - бесспорно, была ясна греческим математикам.

И в ту же эпоху возникает теория чисел - возможно, самая удивительная ветвь математики. Вот уже скоро два с половиной тысячелетия лучшие ученые мира пытаются найти загадочные законы царства целых чисел. И в первую очередь с древних времен (и до наших дней) привлекали математиков простые числа. Почти каждый из великих в большей или меньшей мере отдал дань теории чисел, в частности изучению простых. Евклид, Пьер Ферма, Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс... Гаусс даже восторженно написал как-то: "Математика - царица наук, а теория чисел - царица математики". К мнению "короля математиков", видимо, прислушаться следует.

Парадоксальная, странная и удивительная красота теории чисел, прежде всего, быть может, обнаруживает себя в пленительной простоте формулировок невероятных по сложности теорем.

Вспомним, например, известную проблему близнецов. Среди простых чисел встречаются странные пары: 5, 7; 11, 13; 17, 19; 29, 31; 41, 43... и т.д. Спрашивается: оборвется ли где-либо этот ряд или же он продолжается до бесконечности? Как видим, формулировка теоремы вполне ясна способному ученику второго-третьего класса.

Ни Эйлер (а он был гений), ни Гаусс (и он был гений) и никто другой из сотен блестящих умов не нашел ответа до наших дней.

Всему миру известна великая теорема Ферма. О ней еще будет особый разговор в третьей части наших историй. Загадка Ферма терзала математиков три с лишним века.

Впрочем, главная загадка теории чисел в другом. Да, математики убеждены в ее исключительном значении для науки. Эта почти мистическая вера на самом деле определяется в конечном счете одним аргументом - красотой.

Так вот, теорией чисел восхищаются все, но сколько-нибудь ее заметного влияния на другие разделы математики покуда не наблюдается. Тем более не используется теория чисел в прикладных задачах (редкие исключения лишь подтверждают правило).

Напротив, в теории чисел используют сегодня самый утонченный математический аппарат, привлекают внешне весьма далекие разделы математики. Глубокая и до конца не понятая связь теории чисел и остальной математики уже установлена, однако пока она лишь односторонняя. Но кто знает, что будет завтра.

В истории математики (и теоретической физики) много раз случалось, что какая-либо частная, вроде бы изолированная от остальной математики теория неожиданно оказывалась на генеральном направлении развития науки и, более того, адекватно описывала новооткрытые законы физики.

Функциональный анализ, теория групп, геометрия искривленных пространств - все это сегодня рабочий аппарат квантовой механики и космологии. В XIX в. абстрактные разделы математической логики были интересны десятку-другому неизвестных чудаков, провинциальных профессоров. Сейчас их изучают (с переменным успехом) многие тысячи студентов на факультетах прикладной математики и управления.

Но так бывает далеко не всегда.

* * *

Вернемся к нашему вопросу. Как же все-таки определить, что именно интересно в математике? Повторимся: все математики тут дружно переходят на язык поэтов. Критерий - некая непонятная, загадочная внутренняя красота, которая равно пленяет и специалиста, и дилетанта. Это первый и, пожалуй, главный критерий для оценки работ в чистой математике. Вот что писал, например, замечательный английский математик Г.Х.Харди:

"Математик так же, как художник или поэт, создает узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей... Узоры математика так же, как узоры художника или поэта, должны быть прекрасны; идеи так же, как цвета или слова, должны соответствовать друг другу. Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики".

Кстати, физики при оценке новых результатов (как теоретических, так и экспериментальных) полностью солидарны с математиками и также апеллируют к загадочной красоте.

Беда в том, что красота - настолько зыбкое, неопределенное понятие, что никакая логика не сможет объяснить, что это, собственно, такое. Здесь-то все и начинается... Теория, замечательно красивая для физика, математику может предстать как довольно бессвязный набор совершенно нелогичных, смутных и неопределенных идей. Напротив, физик может отмахнуться от какого-нибудь исключительно изящного и важного (для математика!) аксиоматического обоснования.

Например, от строгого обоснования интегрального исчисления, или - от теории вероятностей! Однако ничего ясного по этому поводу никто сказать не в состоянии, точно так же, как невозможно объяснить обаяние музыки Моцарта или Бетховена. (Если только вы не музыкальный критик, конечно!)

Кстати, математики очень любят сравнивать теорию чисел с музыкой, подчеркивают ее "духовное существо". Как несколько выспренне писал один математик XIX столетия, "душа математики ярче всего проявилась в теории чисел".

На обыденном языке все ученые наши слова сводятся к двум вопросам: почему так красивы все киски? и чем данная Мурка красивее данного Барсика? Читатели легко могут убедиться, что сформулировать сколь-нибудь логичный ответ практически невозможно.

* * *

Возвращаясь от котов к математике и физике, напомним еще раз: физикам-теоретикам в одном отношении все же проще. Для оценки новой теории у них есть хотя бы два ясных показателя.

Во-первых, теория должна хорошо и последовательно объяснять известные эксперименты.

Но этого мало! Необходимо, но недостаточно, - как любят говорить математики.

Во-вторых, - и, быть может, главное! - теория должна быть эвристична. Иначе говоря, теория должна предлагать новые эксперименты и, самое важное, предсказывать их результаты.

При формулировке новой фундаментальной идеи от автора не требуют какого-либо последовательного обоснования. Коль удовлетворены два наших требования, теория имеет право на жизнь. Но дальше, при разработке идеи, автор обязан следовать правилам логики. Тут стоит снова вспомнить о квантовой механике. Мы сделаем это чуть позже.

Часто можно услышать: в старой физике все было ясно, понятно. Но в нашем веке физики все запутали. На самом деле в классической физике, как только мы касались свойств вещества, становилось непонятным все. Хуже того - основы нашей науки оказывались совершенно противоречивыми (чуть подробней об этом в "Истории четвертой"). Но... результаты были великолепны!

Вот, видимо, центральное различие между физиками и математиками.

Ради объяснения свойств реального мира и (запомним!) предсказания новых эффектов физик готов забыть об основах, о логике (о "приличиях") и на время продать душу дьяволу в надежде, что ее спасут следующие поколения!

Впрочем, математики также... Но все же не в такой степени!

Вот, пожалуй, и все. А если вы не убеждены (касательно математиков), то на очереди две истории.

ИСТОРИЯ ВТОРАЯ

Леонард Эйлер был одним из самых фантастических ученых в истории науки. Рассказывать о нем можно бесконечно, и любые эпитеты тут скудны и жалки.

Признаюсь, читая о Ньютоне, Ферма, Эйлере, как-то начинаешь понимать сентиментально восторженных гимназисток начала века с их вечной мечтой о прекрасном принце. Но... не современных девиц, готовых воздвигнуть алтарь над брючной пуговицей крутого рок-идола.

Не было такой области математики, в которой он не достиг бы фундаментальных результатов. Число работ его умопомрачительно. Перед смертью он обронил как-то, что Петербургской академии понадобится сорок лет, чтобы разобрать его архив.

Он ошибся. Это заняло восемьдесят лет.

Я хочу привести здесь один его результат, который при удивительной внешней простоте, быть может, наиболее фантастичен. Это - формула Эйлера:

eix = cosx + isinx

Как Эйлер пришел к своей формуле, хорошо известно.

Он прекрасно знал три суммы:

1 + x + x2/2! + x3/3! + ... = ex,

x - x3/3! + x5/5! - x7/7! + ... = sinx,

1 - x2/2! + x4/4! - x6/6! + ... = cosx.

Подставьте в первый ряд вместо x --> ix, и вы легко убедитесь в справедливости формулы Эйлера. Положив в ней x =(pi), получим

ei(pi)= - 1.

Очень простая и совершенно неожиданная связь трех замечательных чисел e, (pi) и i.

Но дело-то в том, что с позиций формальной логики эта операция - вопиющее беззаконие. Она чудовищна. О каком тут доказательстве можно было говорить, если самого понятия возведения в произвольную мнимую степень не существовало (я имею в виду времена Эйлера). Это абсурд. Но результат так красив. Так заманчив. "Экспериментальные факты" просто заставляют поверить, что должно быть так, что иначе и быть не может. И Эйлер погрешил против религии математика.

Для математиков формула Эйлера стала потрясением. В определенном смысле она остается таковой и в наши дни. Вот по-детски восторженный отрывок из книги американских математиков "Математика и фантазия" (Kasner E.N., Newman J. Mathematics and the imagination. N.Y., 1940.):

"Эта знаменитая формула - возможно, самая компактная и знаменитая из всех формул - была обнаружена Эйлером еще до открытия ее де Муавром. Она обращена к мистику, равно как и к естествоиспытателю, философу и математику. Но для каждого она имеет особое значение".

Историки математики согласны: Эйлер получил этот результат раньше, чем А. де Муавр.

А дальше авторы цитируют несколько ошалелое обращение к студентам одного профессора математики уже через сто с лишним лет после открытия формулы: "Джентльмены, это, наверное, правда, но она абсолютно парадоксальна; мы не можем понять ее, и мы не знаем, что она значит, но мы доказали ее, и поэтому мы знаем, что она должна быть достоверной".

Ну, термин "доказали" здесь, мягко говоря, спорен, если следовать аксиоматическому методу формально. Для вывода было необходимо принципиально расширить известный круг наших понятий и ввести новые, но так, чтобы они были согласованы с уже известными; чтобы не нарушили логическую структуру всей "старой" математики, но распространили ее на новые объекты. В наше время этот прием стал стандартным.

Но в первый раз... Впрочем, "формула Эйлера" в те времена, что называется, носилась в воздухе, и сейчас непросто сказать, кто из математиков XVIII в. был первым. Как понимают читатели, в те времена обмениваться информацией было несколько сложней, чем теперь, и ко многим результатам независимо приходили разные авторы.

Очень короткая мораль. Мне кажется, что история с открытием Эйлера поразительно напоминает историю уравнения Шредингера.

Посмотрим еще на одну историю. Не буду навязывать свое личное впечатление (оно, в общем, мало интересно), но для меня открытие Эйлера (да! снова он!), пожалуй, самый невероятный пример математического мышления. Никто из современников Эйлера и близко не приближался к такому фантастическому результату.

ИСТОРИЯ ТРЕТЬЯ ,
или
адаптированный пересказ одного раздела великолепной книги
Д. Пойа "Математика и правдоподобные рассуждения"

Итак, в конце XVII в. Якоб Бернулли сформулировал задачу: требуется вычислить сумму ряда обратных квадратов целых чисел

S = (1/n2)

Якоб Бернулли - великий математик, но решить свою задачу не смог. Эйлер был ученик его брата Иоганна (тоже прекрасного математика), от которого и узнал о проблеме. Поначалу все попытки Эйлера получить точный ответ не проходили.

Он нашел несколько приближенных формул для суммы. Причем для практических применений - очень хороших (точность: семь значащих цифр!). Физик, возможно, на этом мог бы успокоиться. Если только разговор не о фундаментальных законах, такая точность, как правило, сильно завышена. И не стоит тратить время на дальнейшее. Однако кодекс чести математика диктовал: необходимо найти точное решение. Эйлер его отыскал совершенно поразительным образом.

Но прежде всего посмотрим на невероятный, удивительный ответ:

(1/n2) = (pi)2/6

Более того, тем же методом Эйлер легко показал:

(1/n4) = (pi)4/90

Откуда, каким образом, почему загадочное, иррациональное число pi выскочило при суммировании самых обычных, простейших дробей? Воля ваша, а 300, 200 лет назад тут невольно появлялись мысли о вмешательстве каких-то трансцендентальных высших сил.

Кстати, pi - не просто иррациональное число. Оно принадлежит к особому классу так называемых трансцендентных чисел. Эти числа невозможно связать с целыми числами накаким алгебраическим соотношением. Они не могут быть корнями полинома с рациональными коэфициентами.

И некоторые математики довольно интенсивно развивали подобные идеи, в частности в связи с суммированием бесконечных рядов. В те времена (как, впрочем, и сегодня) все непонятное, удивительное списывали на текущий счет высших сил.

Но посмотрим, что сделал Эйлер. Было хорошо известно: если уравнение n-степени a0 +a1x + ... +anxn = 0 имеет n различных корней k1...kn, то многочлен Pn(x) = a0 + a1x + ... + anxn для любого x можно представить в виде:

Pn(x) = an(x - k1)...(x - kn).

Сравнивая члены с одной и той же степенью x, легко получаем простые соотношения между коэффициентами и корнями уравнения. Эти соотношения (обобщенная теорема Виета) были хорошо известны. Простейшие из них:

an - 1 = - an(k1 +...+kn);

a0 = ( - 1)nk1k2...kn

и

a1 = - a0(k1 - 1 + ... +kn - 1).

Мы считаем, что a0 не равно нулю или что ни один из корней не равен нулю. В противном случае степень уравнения понижается.

Эйлер рассматривает уравнение

sin x/x = 0

Корни его хорошо известны: pi, - pi; 2pi, - 2pi; 3pi, - 3pi; и т.д.

Представим sin x в виде бесконечного ряда. Тогда получим уравнение "бесконечной степени"

1 - x2/3! + x4/5! - x6/7! + .... = 0

или для переменной t = x2

1 - t/3! + t2/5! - t3/7! + ... = 0

корни которого pi2, (2pi)2, (3pi)2 и т.д. Вполне естественно, этих корней бесконечно много.

А теперь допустим, что для этого уравнения выполняются те же соотношения между коэффициентами a0 и a1, что и для обычных уравнений. Сразу получим

- 1/3! = 1/(pi)2(1 + 1/4 + 1/9 +1/16 + ....).

Tочно таким методом можно вычислить ряд

(1/n4)

Центральный момент в доказательстве - дерзкая ("безумная") идея: распространение известных соотношений для алгебраических многочленов на бесконечные ряды. С формальных позиций правоверного математика Эйлер ничего не доказал. Конечно, сам он понимал это лучше всех.

Он вычислил своим методом суммы еще нескольких бесконечных рядов (в том числе известные ранее). Результаты совпали, и это был важный аргумент. Но, быть может, главным доводом явилось непременное совпадение приближенных формул с точными результатами, которые давал его метод.

В этой своей работе Эйлер мыслил и действовал как настоящий физик, только экспериментировал не со светом, не с силами тяготения, а с бесконечными рядами. (В конце концов Эйлер нашел существенно другое, "строгое" доказательство.)

Мораль. В математике, так же как в физике, интуиция, догадка порой решает все, даже если нет строгого обоснования. А формальное служение математика своей профессиональной религии может привести его к потере открытия. Например, Гаусс пришел к неевклидовой геометрии много раньше Лобачевского и Бояи. Но так и не опубликовал ничего, поскольку хорошо понимал незавершенность своей работы с позиций строгой логики. Именно: никто из троих не мог доказать непротиворечивость новой геометрии. А Лобачевский и Бояи доверились своей интуиции и красоте новой картины мира, хоть и понимали, что непротиворечивость новой геометрии ими не доказана. Между прочим, чтобы убедиться в правильности своих построений, Лобачевский действовал примерно так же, как Эйлер. Используя неевклидову геометрию, он вычислял различные известные интегралы. Получая верные ответы, он приобретал все новые и новые интуитивные доводы в пользу своей теории.

Как ни парадоксально, но порой в науке излишнее понимание может и повредить. Примеров тому много. Вот один из наиболее замечательных. Но прежде всего - маленькое предупреждение. Пусть читатели не смущаются, если существо дела не будет до конца понятно. Нас заботит сейчас в первую очередь психологическая сторона. Итак:

ИСТОРИЯ ЧЕТВЕРТАЯ

Примерно в 1923 - 1925 гг. (до сих пор все участники эпопеи создания квантовой механики чуть сентиментально вспоминают об этой эпохе как о лучшем времени их жизни) экспериментаторы преподнесли новый "подарок". Атомные спектры часто вели себя "не так". Если поместить атом в магнитное поле, наблюдаемая картина совершенно не совпадала с той, которую предсказывала теория. Сразу несколько физиков довольно быстро сообразили, что все можно было бы объяснить, предположив, что электрон имеет собственный момент количества движения (момент импульса), т.е. вращается вокруг собственной оси подобно волчку. Этому собственному вращению заряженной частицы должен сопутствовать магнитный момент, и тогда все можно будет понять.

Столь же быстро они обнаружили: объяснить эксперимент можно, только если скорость вращения на экваторе электрона в сотни раз больше скорости света. В то время радиус электрона оценивали с помощью простой классической (но релятивистской) формулы: mec2 ~ e2/r. Иначе говоря, считали, что масса появляется как результат электромагнитных взаимодействий. Масса электрона была достаточно хорошо измерена: me~ 10-27 г. Подставив это значение в формулу, получим r ~ 10-13 см.

Но чтобы объяснить эксперименты со спектрами, необходимо было предположить: внутренний механический момент S ~ h = 1.05·10-23 эрг·сек. (Если быть точными, то S = h/2.) А тогда элементарная оценка давала: mvr ~ h и v ~ 1013 см/сек.

В сотни раз больше скорости света c! Даже если при оценках мы ошиблись раз в десять, это не спасало. Сегодня мы знаем, что к этим оценкам вообще нельзя относиться серьезно. Нельзя, в частности, использовать закон Кулона (даже для оценок) при расстояниях порядка r ~ 10-15 см.

Нам известно (из экспериментов по рассеянию), что размер электрона во всяком случае r < 10-17 см. И всякая попытка как-то представить себе вращение электрона как некоего шарика вообще бессмысленна. В то время этого не знали, но тем не менее все оказывалось абсолютно непонятным.

Итак, налицо был абсолютный нонсенс. Теория относительности уже давно завоевала признание, а она, как известно, скорости, большие c, запрещала. Но это еще не все. Имелись и другие несуразности. Наконец, если последовательно развивать теорию вращающегося электрона, то оказывалось, что результаты ровно в два раза расходились с экспериментом.

Правда, это-то не слишком пугало. Если результат теории отличается от эксперимента ровно в два раза, то хочется верить - это не случайно. Хуже было все остальное. И все крупнейшие физики того времени один за другим похоронили для себя вращающийся электрон - волчок.

В 1925 г. двадцатилетний юноша Ральф Крониг (он вспоминал эту историю почтенным профессором) начал развивать идею вращающегося электрона. Он хорошо и последовательно рассмотрел вопрос, но ни В.Гейзенберг, ни В.Паули, ни Х.Крамерс, ни другие мэтры-теоретики не поддержали его. К тому же сам Крониг отчетливо видел все несуразности теории и не опубликовал свою работу.

Проблема поведения атомных спектров в магнитных полях продолжала мучить физиков. Паули, Гейзенберг, Бор пытались что-то сделать, но в итоге, как открыто признал Бор, осталось "чувство грусти и безнадежности".

В октябре 1925 г. появилась статья Дж.Уленбека и С.Гаудсмита. Авторы не знали об идеях Кронига и независимо развили идею электрона-волчка. В речи, произнесенной в Лейдене в 1955 г., Уленбек говорил об открытии и публикации гипотезы о вращающемся электроне примерно так:

- Мы могли что-то понять только в том случае, если электрон является маленькой сферой, способной вращаться... Но наш энтузиазм в значительной мере остыл, когда мы обнаружили, что скорость вращения на поверхности электрона должна во много раз превышать скорость света! Я помню, что основные соображения пришли нам в голову как-то во второй половине дня в конце сентября 1925 г. Мы были взволнованы, но не имели ни малейшего намерения что бы то ни было предавать гласности. Это выглядело столь необоснованным и дерзким, что казалось - где-то, несомненно, должна таиться ошибка, - да и Бор, Гейзенберг и Паули, наши большие авторитеты, никогда не предлагали ничего подобного.

Но мы, конечно, рассказали обо всем Эренфесту. Он сразу заинтересовался, главным образом, я думаю, благодаря наглядному характеру гипотезы, бывшей вполне в его духе. Он обратил наше внимание на несколько пунктов и, наконец, заявил, что это либо очень важно, либо чепуха и что мы должны написать короткое письмо для журнала и отдать ему. Он кончил словами: "Нужно спросить герра Лоренца". Так и поступили.

Лоренц встретил нас с присущим ему радушием и вниманием и очень заинтересовался нашей идеей, хотя, я думаю, в душе относился к ней несколько скептически. Он обещал нам подумать над этим. И действительно, уже через неделю он передал нам написанную замечательным почерком рукопись, содержавшую длинные расчеты электромагнитных свойств вращающегося электрона. Мы не вполне поняли их, но было очевидно, что представление о вращающемся электроне, если его принимать всерьез, связано с большими трудностями. Например, магнитная энергия электрона должна быть столь велика, что его масса по принципу эквивалентности должна превосходить массу протона или, если принять известное значение массы, его размеры должны превосходить размеры атома! И то и другое казалось бессмыслицей. Мы с Гаудсмитом чувствовали, что, быть может, пока лучше воздержаться от каких-либо публикаций, но, когда мы сказали о своем намерении Эренфесту, тот ответил: "Я уже давно отправил ваше письмо в печать, вы оба достаточно молоды, чтобы позволить себе сделать глупость!"

Мораль. Вы прочли одну из самых поучительных и прекрасных историй о физиках. Не смущайтесь, если физическое ее содержание осталось вам неясно. Это совершенно несущественно.

В конце концов кому она интересна, эта самая физика, кроме самих физиков! Но стиль, характер мышления физиков можно почувствовать, и не понимая самой проблемы.

Заметьте, до сих пор, хотя прошло уже пятьдесят лет и спин давно уже завоевал себе почетное место под солнцем, с точки зрения нашей обыденной классической интуиции он остался уродом.

Существует давний ехидный анекдот о популяризации науки. Лектор объясняет, что такое беспроволочный телеграф. "Сначала, - говорит он, - я объясню вам более простую вещь - проволочный телеграф. Представьте себе кошку длиной в несколько тысяч километров. Если на одном конце кошки нажать ей на хвост, то на другом конце она мяукнет. Такова принципиальная схема проволочного телеграфа. Теперь представьте себе то же самое, но без кошки. Вот это и есть беспроволочный телеграф".

К спину этот анекдот имеет самое непосредственное отношение. Представьте себе момент количества движения... без вращения. Это и есть спин.

Пожалуй, Крониг разобрался в проблеме более глубоко, более основательно, чем Гаудсмит и Уленбек. Все великие разобрались в проблеме еще глубже, они прекрасно понимали, что вообще нельзя использовать классические образы, и приняли работу с трудом.

Но, вероятно, наиболее близок к истине был Эренфест, сказавший: "Вы достаточно молоды..."

Тем не менее все очень быстро признали гипотезу спина. На то был главный довод. Для физика верховный судья - эксперимент. А эксперименты объяснялись блестяще, и, повторимся, теория предсказывала результаты новых опытов. За 300 лет со времен Галилея и Ньютона физики привыкли: любая новая теория имеет право на жизнь, если объясняет и предсказывает.

Стоит отметить еще, что в некотором смысле физикам работать сложнее, чем математикам. Математик имеет дело с чистыми системами. Исследует идеальные объекты. Физик, прежде чем он построит теорию и расшифрует какое-либо явление, должен очистить всю шелуху, все, что затемняет, искажает существо дела. А часто эдакие "ловушки", поставленные коварной природой, таковы, что наблюдаемые эффекты проще всего объясняются с точностью наоборот. Об этом очень краткая

ИСТОРИЯ ПЯТАЯ

Почти две тысячи лет, следуя Аристотелю, считали:

1) тяжелые тела при падении движутся со скоростью, пропорциональной их весу; и

2) тело будет двигаться равномерно и прямолинейно, если к нему приложена постоянная сила.

Сейчас очень легко относиться к тезисам Аристотеля со снисходительной усмешкой. Однако в те времена люди были не глупей наших современников. Аристотеля "подтверждал" опыт. Колесница ехала с постоянной скоростью только "при наличии" лошади; пушинка легко парила в воздухе; тяжелый камень стремительно летел вниз! Можно подобрать еще сотни примеров... Помню, в седьмом классе мы были потрясены, увидев, как в трубке, из которой учитель выкачал воздух (вакуум был, конечно, убогий, но достаточный), листок бумаги падал практически с той же скоростью, что и железный шарик.

Природе пришлось ожидать два тысячелетия, пока не родился Галилей и вместе с ним (естественно, лет на тридцать позже) современная физика. Тогда вдруг прозрели: все тела падают с одинаковым ускорением силы земного тяготения; и тела двигаются равномерно, если на них не действуют силы. Причем в основе выводов лежали тщательно выверенные эксперименты.

Далее была математика, и тут, как все в его время, Галилей ученически подражал Евклиду. Аксиомы, теоремы... Евклид властвовал над умами ученых более двух тысячелетий.

Скажу напоследок: книги Галилея и сегодня читаешь с восхищением. Кстати, его девиз: "В естественных науках математическая строгость не нужна", - часто повторял Ландау. Правда, сам Галилей оставил нам примеры великолепных математических построений.

Возможно, история с Галилеем покажется читателям не слишком убедительной, так как "очень все это просто". К физикам мы еще вернемся, но сначала посмотрим, сколь коварна порой бывает и в физике, и в математике внешняя простота.

ИСТОРИЯ ШЕСТАЯ

Одна из самых знаменитых теорем математики - великая теорема Ферма. Она почти столь же известна, как теорема Пифагора.

Читатели помнят, конечно, что теорема Пифагора a2 + b2 = c2 имеет бесконечное множество решений, когда a, b, c - целые числа. Простейший пример: a=3, b=4, c=5. Умножая обе части уравнения на квадрат любого целого числа, сразу получаем бесконечный набор целых же решений. Он описывает, конечно, семейство подобных треугольников. Каждую тройку целых a, b, c, удовлетворяющих уравнению, называют пифагоровой тройкой.

Легко можно найти и все принципиально различные пифагоровы тройки, а именно такие тройки, когда a, b, c не имеют общего делителя (см. Курант Г., Роббинс Г. Что такое математика? М.-Л. 1947. Гл.1, § 1).

Например (5, 12, 13); (7, 24, 25) ... (51, 140, 149) и т.д. Естественно, возникает мысль о возможности обобщения задачи. Существуют ли решения в целых числах для уравнений a3 + b3 = c3, a4 + b4 = c4 и вообще для уравнений вида an + bn= cn также целое число?

Понятно, что постановка задачи и естественна, и совершенно элементарна.

А дальше... дальше начинается детектив. Со всей ответственностью можно сказать: ни один из тысяч авторов детективного жанра не придумал интриги, хоть отдаленно подобной истории с великой теоремой Ферма.

Итак, Ферма доказал: ни одно уравнение вида an + bn = cn, где n>2, не имеет решений в целых числах.

Но! Пьер Ферма за известностью не бежал и работ своих практически не публиковал. Писал крайне скупо; о многих своих результатах сообщал только друзьям в письмах, причем часто без доказательств.

Он работал в Тулузе советником суда, великолепно знал латынь, древнегреческий, испанский, итальянский. Развлекался сочинением, говорят, недурных стихов на французском, латыни, испанском; для отдыха читал древних авторов. А также занимался математикой. И слегка натурфилософией (т.е. физикой).

Результаты его и идеи в точных науках могли бы блестяще оправдать многолетнюю работу большого и высококлассного академического института. Да, честно говоря, и сравнивать как-то неловко... Нет сейчас столь мощного научного центра. Ни у нас, ни в басурманских краях.

Ферма, как мы уже говорили, отчетов не составлял, с удовольствием переписывался с теми несколькими друзьями, кто был в состоянии его понимать (в частности, с Блезом Паскалем). Формулировал проблемы, решал задачи, которые порой предлагали его корреспонденты. Именно в переписке Ферма и Паскаля как-то между прочим возникли основы теории вероятностей.

Похоже, грязь и мерзости того времени (поверьте, тогда их было не меньше, чем в наши дни) обошли Пьера Ферма стороной, и его вселенная существовала параллельно изрядно гнусному миру королей, кардиналов, солдат и монахов, практически с ним не соприкасаясь.

Пьера Ферма, в отличие от мушкетеров Дюма (его современников), не очень волновали бесконечные войны, гражданские и внешние, и как-то поразительно небрежно, даже равнодушно относился он к славе, прижизненной и посмертной.

Тут подходящий момент, чтобы взглянуть на то, как завязывается детектив. В начале XVII в. был издан на латыни труд древнегреческого математика Диофанта "Арифметика". К счастью для математики, у издания были весьма обширные поля.

Ферма очень детально штудировал книгу, а на полях делал заметки, приводя без доказательств новые теоремы, им полученные. Иногда, но отнюдь не всегда, он упоминал об идеях доказательства.

Вообще-то он собирался как-нибудь написать сочинение, в котором обещал обогатить арифметику... Но, увы, единственное, что осталось, - заметки на полях Диофанта и письма к коллегам, где он также формулировал теоремы без доказательств.

В те времена так было принято. Порой даже рассылались "открытые письма" математикам. Вот вам, коллеги, теорема. Попробуйте! Докажите!

Как бы то ни было, после того как сын Ферма издал труд Диофанта с пометками отца на полях, более 100 лет крупнейшие математики доказывали теоремы Ферма. Запомним: ни разу он не ошибся. Все теоремы оказались верны, исключительно важны для теории чисел и в конце концов были доказаны.

Все, кроме "великой теоремы". И нелишне отметить, что на полях Ферма написал вот что: "Я располагаю поистине чудесным доказательством, но поля слишком узки, чтобы его можно было на них поместить".

Постепенно среди математиков стал распространяться "синдром великой теоремы" - род тихого помешательства, порой приводившего в психиатрические больницы. А когда в начале нашего века некий немецкий математик завещал 100 тыс. марок тому, кто докажет ее, психоз стал обвальной пандемией. И тысячи доказательств обрушились на академии.

Между тем профессионалы развивали новые и новые методы. К началу нашего столетия теорема Ферма была доказана для не слишком больших n. Тогда называли n<100; в книге Р.Куранта указано n<619. Наконец, в статье Ю.П.Соловьева приводится, видимо, последнее достижение - n<4·106. Все доказательства умопомрачительно сложны, многие из них получены с использованием современной математической техники (см. Ю.П.Соловьев. Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма // Сор. обр. журн., 1998, №2, с.135).

Возникла и быстро стала весьма популярна новая идея. Именно: теорема, возможно, и верна, но Ферма-то ошибался - не мог он ее доказать! Ему просто примерещилось! Рассказывают, что примерно схожая логика была у некоего историографа Гёте, педантичного, дотошного немца.

Гёте написал: "В это время я был страстно влюблен в фройляйн N".

Комментарий: "Гёте ошибается, в это время он любил совсем другую женщину".

Далее следуем статье Соловьева.

Как и положено, финал всей истории оказался в классических традициях детективного жанра.

В 1955 г. молодой японский математик Ю.Танияма предложил (но не доказал) замечательную теорему в совершенно другой, казалось бы, области современной математики. Не будем уточнять в какой, так как употребление ученых слов без понимания их смысла приносит только вред. А суть мы здесь пересказать не сможем. Теорема эта стала известна как "гипотеза Таниямы". Сам Танияма, к несчастью, скончался через три года (в 1958 г.), а на его теорему примерно двадцать лет не обращали внимания. Потом она стала довольно модной. Прошло еще лет десять, и немецкий математик Г.Фрей предложил новую теорему: если верна гипотеза Таниямы, то верна и последняя (великая) теорема Ферма. Или: теорема Ферма есть следствие гипотезы Таниямы. Но доказать свое утверждение он, увы, не смог.

Понятно, что теперь гипотеза Таниямы привлекла внимание математиков всего мира, и следующий акт пьесы переносит ее действие в Америку. Именно американский математик К.Рибет строго доказал теорему Фрея. Но сама гипотеза Таниямы (а значит, и теорема Ферма) по-прежнему оставалась недоказанной.

Прошло еще восемь лет, прежде чем американский математик Э.Уайлс сообщил, что нашел доказательство гипотезы Таниямы. Это произошло в 1993 г. Однако в работе Уайлса довольно скоро обнаружили неточности, и потребовался еще год, чтобы он сам вместе с Р.Тейлором дали, наконец, безупречное доказательство гипотезы Таниямы и тем самым доказали теорему Ферма.

Между прочим, доказательство их занимает 150 страниц.

Итак, доказательство - итог оригинальных работ пяти математиков всего мира. К великой теореме продирались подобно тому, как альпинисты всех стран последовательно штурмовали вершину Эвереста. Но, как и должно быть в классном детективе, главная загадка осталась: как сам Ферма доказал теорему?

В том, что он доказал, у меня нет сомнений. И пусть специалисты дружно утверждают обратное.

А пути небожителей простым смертным неведомы.

ИСТОРИЯ СЕДЬМАЯ

Во второй половине XVII в. Исаак Ньютон выполнил серию фундаментальных исследований природы света. Причем в первую очередь он экспериментировал. Экспериментатор Ньютон был блестящий и не только придумывал "критические", решающие эксперименты, что едва ли не главное для экспериментатора, но и выполнял работу лаборанта, в частности шлифовал стекла.

Он получил фундаментальные данные о дифракции, интерференции, поляризации и преломлении света, четко установил периодический характер свойств света - иными словами, показал, что свет имеет все характеристики волнового процесса.

В итоге, Ньютон предположил: свет - это поток неких мельчайших частиц. Правда, тут он несколько изменил своему девизу: "Гипотез не измышляю". Но это не суть важно.

Мы не можем, к сожалению, здесь рассмотреть те доводы, что привели Ньютона к его поразительной догадке. Конечно, Ньютон - гений, но это мало что проясняет. Можно лишь произносить всякие изумленные речи.

То, что свет ведет себя и как волны, и как частицы одновременно, мы представить себе не в состоянии. И через 300 лет после Ньютона мы никак не продвинулись в понимании, если под ним разуметь наглядную картину.

Возникла квантовая механика. Мы убедились, что вся "тяжелая" материя (электроны, протоны, нейтроны, атомы) также имеет свойства волн; обнаруживаем это в сотнях экспериментов... Но, повторимся, как и Ньютон, мы не только не в состоянии примыслить (для утешения!) какой-либо зрительный образ; хуже того, у нас нет мало-мальски приемлемой логической схемы, которая позволила бы как-то связно интерпретировать природу, сущность наблюдаемых чудес.

Рецепты квантовой теории великолепны, работает она изумительно, но... В известном отношении физики наших дней напоминают терапевтов старой школы. Хороший врач мог прекрасно диагностировать заболевание, прописать больному эффективное лекарство, вылечить, наконец. Но как, почему лекарство сработало... каков биохимический механизм действия, не имел никакого представления.

Понятно, у физиков подобное состояние дел не вызывает восторга, и к этому мы еще под конец вернемся.

А сейчас запомним: все началось с Ньютона 300 лет тому назад, и то, что нейтроны ведут себя и как частицы, и как волны, не более удивительно, чем такое же поведение квантов света. Свойство это порой обозначают учеными словами: корпускулярно-волновой дуализм. Слова эти обожают философы, но, как понимают читатели, польза от них нулевая.

Слова, они и есть слова.

Математики со своими непонятностями борются успешней. Ну, во-первых, у них за две с лишним тысячи лет выработался некий инстинкт, во многом подобный инстинкту хищника - кидаться на малейшую нечеткость мысли, а во-вторых, им проще - их объекты идеальны.

Перед вами

ИСТОРИЯ ВОСЬМАЯ, ИЛИ ПЯТЫЙ ПОСТУЛАТ

Мы уже говорили о неевклидовой геометрии, но история стоит того, чтобы к ней вернуться.

Два тысячелетия математики пытались доказать пятый постулат Евклида.

Одна из его формулировок такова: на плоскости через точку, находящуюся вне прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Он слишком напоминал теорему. Как постулат он был сложен, а значит некрасив.

Убедимся в этом. Известна теорема: внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. Она доказывается без всякого привлечения понятия о параллельных линиях. Следовательно, и без использования пятого постулата. С ее помощью очень легко доказывается теорема: если при пересечении двух прямых третьей накрест лежащие углы равны - прямые параллельны. Обратная теорема одна из формулировок пятого постулата.

В начале XIX в. независимо друг от друга Лобачевский, Бояи и Гаусс пришли к идее, что доказать пятый постулат невозможно. Красив он или нет, но он равноправен с остальными аксиомами геометрии. Очень схематично их логику можно представить так. Предположим, что пятый постулат несправедлив, и затем найдем логическое противоречие в следствиях. Тогда он будет доказан. Превратится в теорему.

Известный со времен Евклида прием доказательства от противного. Но чем дальше развивалась логическая цепь теорем, тем более стройной оказывалась система этой новой неевклидовой геометрии. И в какой-то момент и Лобачевский, и Бояи, и Гаусс поверили - пятый постулат недоказуем. Но если так - геометрия, в которой все аксиомы совпадают с аксиомами Евклида, за тем исключением, что вместо пятого постулата взято обратное утверждение, имеет такое же право на жизнь, как Евклидова.

Именно в такой форме дает пятый постулат Евклид. Невольно возникает мысль, что Евклид сознательно выбрал наиболее неуклюжую формулировку этого пятого, чтобы обратить внимание, подчеркнуть: здесь что-то неладно, коллеги. Тут необходимо серьезно работать.

Она вообще ничем не хуже.

Но вот дальше и начинается самое любопытное.

Поверить не означает доказать. Никто не гарантировал, что, доказав тысячу теорем в неевклидовой геометрии, вы не придете к противоречию в тысяча первой. И это отлично понимали и Гаусс, и Бояи, и Лобачевский. Нужно было иметь строгое доказательство принципиальной непротиворечивости новой геометрии. А его не было.

Они не могли его найти. И так же, как перед Эйлером, перед ними возник вопрос: что же, порвать с религией математика, опубликовать свои результаты, заявить о том, что неевклидова геометрия так же непротиворечива, как обычная евклидова? Либо же... с горечью признать: строго доказать я ничего не могу, а если так, математически законченной работы нет. Это лишь наброски, попытки и только. Лобачевский и Бояи поступили так же, как Эйлер, Гаудсмит и Уленбек.

Гаусс, хотя внутренне был убежден в логической непогрешимости неевклидовой геометрии, своих работ не опубликовал. Работа не завершена, и публиковать ее не следует, если ты строгий математик.

Между прочим, можно удивляться историкам науки. Вопрос, почему именно молчал Гаусс о своих результатах в неевклидовой геометрии, волнует всех без малого сто пятьдесят лет. Вероятно, уже можно составить небольшую библиотеку из книг и диссертаций, посвященных исключительно этой теме. Но мне не доводилось встречать, по-моему, совершенно тривиального объяснения, приведенного чуть выше.

Непротиворечивость неевклидовой геометрии была доказана позже, а творцами ее справедливо считают Лобачевского и Бояи, потому что они - и только они - рискнули предложить новую теорию, не имея строгого обоснования.

Мораль. Как видно, часто в математике к великим открытиям приходят почти такими же путями, как и в физике. И все-таки требования к логической строгости и обоснованности теории в математике неизмеримо выше. Тем не менее, если следовать только букве, а не духу закона, и в математике можно пройти мимо важнейших открытий. Почти об этом говорит красивый афоризм, который вспомнил в своей книге "Математическая смесь" (М., 1965) замечательный математик Дж.Литтлвуд: "Репутация математика основывается на числе плохих доказательств, придуманных им".

Смысл: работы первооткрывателей очень часто нестроги, неуклюжи и грубы.

Не могу удержаться от соблазна "филологического" отступления и приведу классический пример, когда неудачная терминология Лобачевского вот уже сто с лишним лет ввергает в ересь широкие народные массы.

Вероятно, многие читали или слышали фразу: "Н.И.Лобачевский доказал, что параллельные пересекаются в бесконечности". Ее, фразу эту, особо обожают писатели и журналисты. Чуть ли не первым сам Ф.И.Достоевский пространно и с явственным неодобрением рассуждал на эту тему ("Братья Карамазовы").

Если объявить всемирный конкурс на самую нелепую краткую формулировку идей Николая Ивановича, этому шедевру, вне сомнений, обеспечен первый приз вкупе с золотой медалью. Большую чушь придумать немыслимо. И верней было бы Федору Михайловичу до математики не касаться.

Однако любопытно, как самозародилась эта нелепица и почему она столь живуча?

Первая половина, именно слова: "Лобачевский доказал", целиком на совести преподавателей математики. В школе, да и в институтах многократно повторяют: "В математике (в геометрии) все строго доказывается", - практически забывая подчеркнуть: в фундаменте любого раздела математики - аксиоматический метод, когда ряд понятий считаются первичными (никак не объясняются, а только называются) и серия утверждений принимается без доказательства (аксиомы, или постулаты).

В итоге запоминается: в математике все доказывается.

А вот вторая половина - "параллельные пересекаются в бесконечности" - на совести Лобачевского. Его грех, и довольно поучительный. Посмотрим, как все произошло.

Пятый постулат (как мы говорили) утверждал: через точку, не лежащую на данной прямой, в их общей плоскости можно провести только одну прямую, параллельную данной. Параллельными Евклид называл непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости.

Как помним, Бояи, Лобачевский и Гаусс последовательно проводили идею: можно построить геометрию, столь же непротиворечивую, как и геометрия Евклида, если сохранить все остальные аксиомы и постулаты, но вместо пятого принять альтернативный: через точку, не лежащую на данной прямой, в их общей плоскости можно провести бесконечное число прямых, не пересекающих данную.

Это все прямые, проходящие внутри некоторого угла (см. картинку). Крайние прямые - последние, не пересекающие данную. Любая прямая, проходящая вне угла, уже пересечет нашу прямую.

Увы, далее придется ограничиться "филологией".

Следует как-то назвать все прямые нашего пучка и хорошо бы выделить особое положение крайних прямых. Лобачевский и предложил: все прямые внутри пучка назовем сверхпараллельными, а крайние (ограничивающие) - параллельными. Вот о крайних - параллельных в смысле Лобачевского прямых пучка - можно с определенной натяжкой сказать: они как бы пересекаются в бесконечности.

И только эти слова большинство и услыхало (в том числе и некоторые профессионалы). И нелепая путаница тянется скоро двести лет. Повторимся: во многом виноват сам Николай Иванович. Но... первооткрывателям, как правило, некогда думать о чеканных формулировках. Подчистить все и навести красоту - дело учеников и эпигонов или же педагогов.

Возможно, все наши истории создают впечатление, что на высшем уровне особой разницы между математикой и теоретической физикой нет.

В определенном смысле так оно и есть. Но на самом высоком уровне, пожалуй, нет особой разницы и между музыкой и математикой или, если угодно, между архитектурой и теоретической физикой.

Позвольте покончить с этими рассуждениями. Перед нами

ИСТОРИЯ ДЕВЯТАЯ: О РАЗЛИЧИЯХ МЕЖДУ ФИЗИКАМИ И МАТЕМАТИКАМИ

Почти во всех учебниках анализа, геометрии, топологии и прочее, и прочее приводится, цитируется и доказывается знаменитая и очень важная для математиков теорема Жордана: замкнутая кривая на плоскости, не имеющая самопересечений (простая), делит плоскость ровно на две области - внешнюю и внутреннюю.

Доказательство этой теоремы очень сложно. Только в результате многолетних усилий многих ученых удалось найти сравнительно простые доказательства, но и они далеко не элементарны. А первое, труднейшее доказательство самого Жордана вообще вроде бы имело логические погрешности.

Мораль. Физик-теоретик не потратил бы и минуты на доказательство теоремы Жордана. Физику эта теорема абсолютно очевидна без каких-либо доказательств. Я не говорю сейчас, хорошо это или плохо. Я просто сообщаю факты. Очевидно, математики обязаны доказывать те факты, которые физики-теоретики обязаны воспринимать как сами собой разумеющиеся. Кстати, в своей автобиографии Эйнштейн замечает: "Моя интуиция в области математики была недостаточно сильна, чтобы уверенно отличить основное и важное от остальной учености..."

Для интуиции физика-теоретика теорема Жордана - это ужасная и ненужная ученость. Для интуиции математика она, очевидно, представляется интереснейшим утверждением, требующим детальнейшего анализа. Разные науки и соответственно разные критерии.

Впрочем, физики стремятся к логической завершенности своей науки не менее математиков. Об этом

ИСТОРИЯ ДЕСЯТАЯ, ИЛИ СТРАННАЯ ЖИЗНЬ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ

_____1.

Прежде всего - предупреждение. Я, конечно, не надеюсь и не пытаюсь сколь-нибудь последовательно рассказать о квантовой механике. Это попросту немыслимо в популярном очерке.

Выводы квантовой механики почти всегда парадоксальны, если мы попробуем использовать нашу "классическую" интуицию, сложившуюся на основе "обычной" физики и ее прикладных разделов, столь блестяще работающих в макромире. Потому, вероятно, нелишне, пусть и поверхностно, на уровне туриста, познакомиться с удивительным квантовым миром.

При этом необходимо твердо помнить: квантовая теория - отнюдь не умозрительная забава физиков. Сегодня прикладная квантовая механика, как уже говорилось, - столь же развитая инженерная наука, как, например, сопротивление материалов или электротехника...

По большому счету парадоксов и странностей в квантовой механике не больше (если не меньше), чем в привычной нам классической физике. Квантовая механика последовательна и изящна.

Конечно, в квантовой теории есть нерешенные принципиальные проблемы, есть и реальные парадоксы. Но на начальном этапе знакомства главная трудность в другом.

Если говорить честно, до создания квантовой теории вся классическая физика являла собой единый сплошной парадокс. На самом деле непонятно было все.

Хуже того. Реальный мир на каждом шагу грубо противоречил фундаментальным законам классической физики.

Например: существование атомов, молекул и, более того, твердых тел; загадочные свойства электромагнитных волн даже в вакууме, не говоря уж об их взаимодействии с веществом; основы статистической физики. Не вспоминаем уже о таких мелочах, как существование магнетизма тел. В классической физике его просто не может быть. Он запрещен!

Тем не менее скрепя сердце физики со всем этим как-то мирились. Отчасти, видимо, находясь под впечатлением фантастических успехов прикладной физики и химии. Успокаивало и то, что все обсуждение проводилось на языке образов, доступных нашему сознанию.

И почти все пытались думать на этом наглядном языке. Даже сам Максвелл (Максвелл!!) пробовал строить эфир с помощью неких механических моделей, "эфирных шестеренок" ("зубчатых колесиков")...

Видимо, только Ньютон полностью понимал всю зыбкость основ классической физики, механики и всего... Но на то он и был Ньютон. "Qui genus humanum ingenio superavit". ("Кто разумом превосходил род человеческий".)

____2.

С первых шагов квантовой механики мы оказались в непредставляемом, "аномальном" мире. Нет образов в нашем бедном классическом сознании, чтобы как-то наглядно, "на пальцах", почувствовать и принять ее основные принципы.

Даже в нерелятивистской квантовой механике мы не только сталкиваемся с понятиями и результатами, для которых не существует в нашем бедном "классическом" сознании никаких адекватных представлений. Но хуже того - почти все наши мыслимые наглядные образы прямо противоречат квантовой картине мира. В релятивистской квантовой теории с наглядностью совсем плохо.

Возникает естественное чувство недоверия, неудовлетворенности. Его не избежали и сами творцы квантовой теории. Например, блистательный Ричард Фейнман в введении к своим популярным лекциям с красноречивым заглавием "КЭД - странная теория света и вещества" (М., 1988) (речь идет о квантовой электродинамике) пишет:

"Все попытки объяснить вращение электронов вокруг ядра законами механики, теми же, при помощи которых Ньютон вычислял движение Земли вокруг Солнца, оказались неудачными. Ни одно предсказание не подтвердилось. (Между прочим, теория относительности, которую вы все считаете великой революцией в физике, разрабатывалась приблизительно в это же время. Но по сравнению с этим открытием - законы механики Ньютона не годятся для атомов (здесь и далее выделено мной. - В.С.) - теория относительности была лишь незначительным усовершенствованием.)

Выработка новой системы взглядов, способной заменить законы Ньютона, заняла долгое время, так как все, что происходило на атомном уровне, казалось очень странным. Надо было расстаться со здравым смыслом, чтобы представить себе, что же происходит на атомном уровне.

Наконец, в 1926 г. была разработана "бредовая теория", объяснявшая "новый тип поведения электронов" в веществе. Она только казалась сумасшедшей. Ее назвали квантовой механикой. Слово "квантовая" относится к той странной особенности природы, которая противоречит здравому смыслу".

Фейнман, повторимся, физик и педагог, как говорится, от Бога. Читая Фейнмана и других великих - Эйнштейна, Дирака, Ферми, - испытываешь смешанное чувство гордости за людей и некоторое грустно-завистливое восхищение. Понять-то их можно, но самостоятельно мыслить на таком уровне тебе, увы, не дано.

И Эйнштейна, и Дирака, и Фейнмана, и многих других тревожила и смущала некая незавершенность квантовой теории; и сегодня интерес к анализу основ, пожалуй, лишь возрастает.

Причем, как правило, речь идет даже не о релятивистской квантовой механике и не о квантовой электродинамике (КЭД) (в ней появляются свои добавочные неприятности), и уж тем более не о новейших теориях в физике элементарных частиц... Нет, беспокоят фундаментальные принципы "обычной" квантовой механики. (Напомним еще раз - сегодня она превратилась в прикладную, инженерную науку.)

Вот отрывки из книги Дирака "Воспоминания о прекрасной эпохе":

"Общий метод интерпретации новой механики... заключался в следующем: квадрат модуля волновой функции |"пси"(x,t)|2 предполагался равным вероятности того, что частица находится в данной точке пространства в определенный момент времени.

Отметим небольшую небрежность у Дирака (возможно, неточность перевода). Лучше сказать так: вероятность dw(t) частице оказаться в бесконечно малом (очень, очень маленьком!!) обьеме dv около точки x есть dw(x,t) = |"пси"(x,t)|2dv. Сам квадрат модуля |"пси"(x,t)|2называется плотностью вероятности. А вероятность оказаться точно в данной точке, само собой, равна нулю.

Я употребил здесь слово "вероятность". Это означает, что при интерпретации квантовой механики используется понятие вероятности. Такая интерпретация позволяет вычислить вероятность определенного события, в нашем случае - вероятность того, что электрон находится в определенной точке в данный момент времени.

В механике Ньютона, т.е. в классической механике, мы не просто вычисляем вероятности - мы точно вычисляем, какие именно события должны произойти. Новая механика - квантовая - лишена определенности, которая характерна для механики Ньютона. Отсутствие определенности чрезвычайно серьезное препятствие на пути к пониманию квантовой механики. Это то, с чем очень трудно примириться".

Прошу вас, обратите внимание на последнюю фразу. Дирак, один из творцов квантовой теории, конечно, знал и понимал все на высшем уровне. Но и у него невольно возникает некоторый до конца не осознанный внутренний дискомфорт.

И далее:

"Оказывается, что данные теории и наблюдения согласуются между собой. Если встать на эту точку зрения, то совершенно достаточно знать вероятность события. Тем не менее человек не чувствует себя удовлетворенным, если теория дает только вероятности".

Заметьте, снова и снова аргументы Дирака относятся к области чувств, а не строгой логики. Заключая, Дирак пишет:

"Вероятностная интерпретация, основанная на волновой функции Шредингера, - лучшее, что удалось придумать. Делалось много попыток усовершенствовать теорию, чтобы получить с ее помощью не только вероятности. Однако все эти попытки провалились!

В соответствии с современной квантовой механикой вероятностная интерпретация, которую отстаивал Бор, правильна. Но у Эйнштейна был все-таки один козырь: по его словам, "добрый Бог не играет в кости". Эйнштейн верил в то, что физика должна быть причинной по своему характеру".

Дирак пишет далее:

"Я не исключаю возможности, что в конце концов может оказаться правильной точка зрения Эйнштейна, потому что современный этап развития квантовой теории нельзя рассматривать как окончательный. В этой теории существует немало нерешенных проблем, о которых я расскажу позже... Современная квантовая механика - величайшее достижение, но вряд ли она будет существовать вечно. Мне кажется весьма вероятным, что когда-нибудь в будущем появится улучшенная квантовая механика, в которой мы вернемся к причинности и которая оправдает точку зрения Эйнштейна. Но такой возврат к причинности может стать возможен лишь ценой отказа от какой-нибудь другой фундаментальной идеи, которую сейчас мы безоговорочно принимаем. Если мы собираемся возродить причинность, то нам придется заплатить за это, и сейчас мы можем лишь гадать, какая идея должна быть принесена в жертву. Таковы основные положения, связанные с фундаментальными уравнениями новой механики и с их интерпретацией".

Как видите, Дирак вслед за Эйнштейном все время использует чисто интуитивные категории. Ну не верил Эйнштейн, что "добрый Бог играет в кости". (Естественно, говоря "lieber Gott", Эйнштейн подразумевал не "дедушку с бородой", а законы природы.)

Если основы квантовой теории вызывали определенное неприятие самих творцов, то тем более они смущают и ошарашивают при первом знакомстве. И с этим необходимо примириться. Кстати, заметим. Обсуждая основы основ, и Дирак, и Эйнштейн, и Фейнман как бы забывают о "высокой" науке, о стройных логических структурах и обращаются к языку интуитивных образов, доводов, понятий.

Скорее к языку искусства, чем науки.

Дирак пишет: "Это то, с чем очень трудно примириться". Эйнштейн - "не верит". Фейнман говорит: "Надо было расстаться со здравым смыслом".

Ну, здесь уместно спросить: а что, собственно, такое этот самый "здравый смысл"? Единственный разумный ответ, видимо, таков: это собрание привычных нам представлений и понятий, результат нашего обобщенного опыта. Неважно, будь то опыт в сфере общественных отношений или же в исследовании природы.

И ничего более. То, что противоречит нашему пресловутому "здравому смыслу", обычно воспринимается как чудо. Можно вспомнить, что конфессии всех времен и народов вплоть до наших дней с неизменным успехом практикуют довольно убогий набор так называемых чудес. Впрочем, кажется, блаженный Августин дал в свое время изумительное определение чуда: "Чудо - не то, что противоречит законам природы, а то, что противоречит нашему знанию этих законов".

Именно с такими чудесами мы встретились, перейдя к исследованию квантового мира.

Мы уже говорили: первый осознал все это Ньютон. И сегодня, когда мы произносим ученые слова "корпускулярно-волновой дуализм", они означают лишь одно: свет проявляет себя и как поток частиц (фотонов) и как периодические колебания электромагнитных полей (волны). Это, повторимся, знал и Ньютон.

Представить себе такое мы не в состоянии.

Вот о том, что и "материальные" частицы (частицы, имеющие массу покоя) - электроны, нейтроны, протоны - ведут себя, как некие волны, узнали (и бессчетное число раз подобное наблюдали) только в нашем веке. И это мы точно так же не в состоянии себе представить. Любопытно, что чисто психологически волновые свойства "массовых" частиц поражают больше, чем поведение света как потока частиц. Тут резон один - свет нам привычней. Вот и все.

Говоря же честно, свойства электромагнитного поля (в частности, света) еще более непредставимы (немыслимы). Действительно, с одной стороны, мы великолепно умеем описывать электромагнитное поле, представляя его как набор частиц - фотонов (квантов поля). Как и "обычные" частицы, фотоны имеют импульс и энергию. Но когда мы строим радиопередатчики, радиоприемники, радары и т.п., то используем только волновую теорию Максвелла, не вспоминая про фотоны.

Повторимся. Представить, как это получается, невозможно! Но тем все и интересней.

Впрочем, загадки нашего сознания еще темней.

Вообразить, как параллельно с миром науки, ученых существует и процветает (в так называемых цивилизованных странах) обширный мир колдунов, черных и белых магов, гадателей, ясновидящих, астрологов, каких-нибудь парацелителей, короче, мир палеолита, мир паленой шерсти и узловатых дубин, вообще немыслимо. Но сие, к сожалению, реальный факт.

Тому две тысячи лет, как Марк Туллий Цицерон написал философский трактат "О дивинации", или о способности предчувствовать и узнавать будущее. Право, трактат этот сегодня столь же современен, как и в те времена. Он подробно, быть может, несколько тяжеловесно, разбирает многочисленные виды гаданий, начиная с астрологии, не забывая и прочих многочисленных разновидностей (гаруспиции, ауспиции и т.д., и т.д.).

Забавно, что в Риме астрологов часто называли халдеями, независимо от их национальности. Еще интересней, что слово это вошло в наш народный язык в значениях — нахал, крикун, бесстыдник, жуликоватый болтун. Но, конечно, самое замечательное то, что и просвещенное телевидение, и десятки газет регулярно потчуют нас разнообразными халдейскими пророчествами (астрологическими прогнозами). Причем, чутко следуя духу времени, современные астрологи приобрели узкую специализацию. Имеются «глобальные» халдеи, бизнес-халдеи, медики-халдеи и, конечно, секс-халдеи. Будем справедливы, однако, рядом с всяческими колдунами, магами, «заряжателями» воды и туалетной бумаги астрологи смотрятся как служители высокой науки. Но суть-то едина — халдейство оно и есть халдеиство.

Он цитирует просвещенных людей своего времени, подробно рассматривает доводы в пользу дивинации (трактат написан как диспут) и в итоге не оставляет от дивинации камня на камне. То, что дивинация столь популярна, замечает он, на то три причины: невежество, суеверие, обман. И грустно резюмирует: "Нет ничего распространенней невежества". К сожалению, приходится признать, что с его времен массовое сознание мало изменилось.

Заметим, что Цицерон, как, впрочем, многие древние философы, строго разделяет суеверия и религию (веру в богов). Хотя в Риме гадания были возведены в ранг государственной религии.

Более того, он прекрасно понимает (и тут он снова солидарен с лучшими мыслителями древности), что любая религия - пример аксиоматического мышления. Более или менее удачный, так как наше бытие достаточно разнообразно. В религиозной аксиоматике мы встречаем своего рода иллюстрации теоремы Геделя. Система аксиом любой из религий неполна, что и приводит к появлению в любой развитой религии множества ответвлений - в зависимости от тех аксиом, что добавляют сторонники того или иного направления.

Меньше всего хочу задеть чьи-нибудь религиозные чувства, и вообще наш разговор о другом. Но позвольте лишь заметить, что пишут, будто при опросе, проведенном среди американских ученых, наибольший процент религиозных людей (правда, все же незначительный) дали математики, а наименьший - физики. Воздержимся от любых оценок, но различие в стилях мышления этот факт иллюстрирует достаточно четко.

Физики все же более раскованны, так как в своей работе часто должны следовать рецепту грузинского школьника (из анекдота). На просьбу доказать что-то был дан ответ: "Мамой клянусь!"


Современная физика.
Главная страница.
Вверх.

Rambler's Top100Rambler's Top100