Математика для физика. 

Химия для абитуриента.

Лекции по физике.

Работа для студентов.

За годы преподавания математического анализа в высшей школе сложилась определенная традиция двухуровневого изложения материала. Существует строгий университетский курс и втузовский курс, опирающийся на интуитивное понимание. Введение математического анализа в программу средней школы заставляет по-новому взглянуть на основы математического анализа.

"Переменная величина y называется функцией переменной величины x, если каждому значению величины x соответствует единственное определенное значение величины y." 

Эту фразу можно уподобить воротам, открывающим вход в область высшей математики; с помощью этой фразы мы определяем важнейшее понятие математического анализа – понятие функциональной зависимости, в котором, как в зародыше, уже заложена вся идея овладения явлениями природы и процессами техники с помощью математического аппарата. Вот почему мы должны со всей беспощадностью требовать от этого определения полной, безукоризненной ясности; ни одно слово в нем не должно вызывать и тени сомнения; малейшая двусмысленность здесь грозит сделать все величественное здание, которое строит наука на базе этого основного понятия, несовершенным, требующим капитальной перестройки [1].

Существуют и другие, на вид более строгие, определения функциональной зависимости, но, по сути, они сводятся к определению, приведенному выше. Есть точка зрения, что понятие функциональной зависимости настолько же фундаментально, как и понятие, например, множества, и не нуждается в дальнейшем уточнении. Но это крайняя точка зрения.

Эта краткая формулировка при ближайшем рассмотрении оказывается во многих пунктах недоговоренной и допускающей различные толкования. Остановимся, прежде всего, на словах "каждому значению величины x". Для расшифровки понятия термина "значение переменной величины" строится некая совокупность всех вещественных чисел, которая в математике называется континуумом (точнее – линейным континуумом). Континуум включает множество всех рациональных чисел, т. е. всех целых чисел и дробей, как положительных, так и отрицательных. Для того, чтобы оперировать с числами типа  , к множеству рациональных чисел добавляются алгебраические числа.
Алгебраическим числом называют всякий корень (вещественный) уравнения вида P(x) = 0, где P(x) – любой многочлен с целыми коэффициентами. 
Для определения понятия числа использовано понятие многочлена. Вам не кажется, что это логическая петля?

В дальнейшем для того, чтобы к основным элементарным алгебраическим операциям присоединить основную и важнейшую аналитическую операцию – предельный переход, к алгебраическим числам добавляют трансцендентные числа. Мы знаем несколько трансцендентных чисел. Это, прежде всего, числа  и е. Но трансцендентные числа не могут быть введены путем нескольких примеров. Для полноценного обоснования математического анализа невозможно обойтись без построения общей теории вещественных чисел, которая бы содержала в себе общие принципы такой конструкции, исчерпывающим образом характеризующие собой всю совокупность вещественных чисел.

В математике существует несколько различных теорий континуума. Однако все эти теории – и об этом важно всегда помнить – совершенно одинаково в идейном отношении подходят к своей задаче. По сравнению с этим их принципиальным единством то, что их между собой различает, может быть оцениваемо так же, как детали конструкции оцениваются в сравнении с архитектурным планом здания.
Все эти теории имеют своей целью, принимая в качестве первоначальной данности множество рациональных чисел, получить из него сразу всю совокупность всех чисел с помощью единого конструктивного принципа. Форма этого принципа различна в различных теориях; однако сходство между этими еще далеко не заканчивается на указанном нами пункте. Дело в том, что выбор конструктивного принципа, ведущего к построению новых, иррациональных чисел, во всех теориях, несмотря на существенные формальные отличия, основан на одной и той же идее. Эта идея состоит в том, что главная, доминирующая роль при конструировании новых чисел придается основной аналитической операции предельного перехода, все же другие встречающиеся способы порождения иррациональных чисел сводятся к ней, рассматриваются как ее частные случаи. Вы знаете, что, например, квадратные корни из целых чисел являются пределами надлежаще выбранных последовательностей рациональных чисел ("приближенных корней"); так же обстоит дело и в других случаях. В качестве такой теории в большинстве учебных пособий излагается теория Дедекинда. Для читателя не представит труда отыскать такое пособие, например, трехтомный Фихтенгольц [2].

В основе теории Дедекинда лежит некоторое утверждение, которое считается настолько элементарным, что принимается без обсуждения:
между любыми двумя рациональными числами r₁ и r₂ всегда найдется третье [1]. 
Как следствие – между r₁ и r₂ всегда заключено бесконечное множество рациональных чисел.
Так как любому числу можно сопоставить точку на числовой оси, то, по сути, перед нами утверждение о непрерывности пространства, о возможности его деления на сколь угодно малые отрезки.

В действительности, если мы попробуем сделать это экспериментально, то перед нами возникнут определенные трудности, связанные с разрешающей способностью измерительных приборов.

В начале, если мы возьмем механические приборы, линейки, штангельциркули, микрометры, то нас будет ограничивать разрешающая способность шкал этих измерительных приборов. Точность измерения длины не может превышать половины деления шкалы прибора. Если мы воспользуемся микроскопом, то ограничения возникнут из-за волновых свойств света. Вместо точки в фокальной плоскости объектива возникнет сложная дифракционная картина, ограничивает разрешающую способность прибора (рис. 1). 

Если мы станем уменьшать длину волны света, то будет расти энергия световых квантов, и при достаточной энергии пойдут различные процессы рождения элементарных частиц. В конце концов мы уткнемся в так называемую фундаментальную длину l_f, которая, по различным представлениям, может быть порядка 10^-17 см или 10^-33 см [3].

Таким образом, если мы вслед за Гильбертом считаем, что геометрия является частью физики, то мы должны отказаться от аксиомы о бесконечной делимости отрезка, заменив ее аксиомой о существовании отрезков столь малых, что их уже невозможно поделить на меньшие части.

Что произойдет с математикой при введении такой аксиомы.

Во-первых: исчезнет деление чисел на рациональные и иррациональные, а последние, на алгебраические и трансцендентные. Все числа можно будет представить в десятичном разложении в виде

где а и b – натуральные числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а b – точность представления числа. Без ограничения общности b можно положить равным 5.
Во-вторых: все бесконечные множества будут иметь мощность счетного множества, если они сами сохранятся, что неочевидно.

В-третьих: исчезнет операция предельного перехода.

Можно ли построить математический анализ, не прибегая к операции предельного перехода? Да.
Я.Б. Зельдович, замечательный физик-теоретик и один из основателей нашей ядерной мощи, в своей "Высшей математике для начинающих физиков и техников"[4] полностью исключил теорию пределов.
"В ответ на критику Зельдович ответил так: интересует нас именно отношение конечных приращений, а не какой-то абстрактно-математический предел.
Делать приращение аргумента – скажем, координаты точки или момента времени – меньше, скажем, 10^-10 или 10^-30 (при разумных единицах измерения), - это "явное превышение точности модели, так как структура физического пространства (или времени) на столь малых интервалах уже вовсе не соответствует математической теории вещественных чисел (вследствие квантовых феноменов)".
"Дело, - продолжал Зельдович, - просто в том, что находить интересующие нас отношения конечных приращений трудно, поэтому и придуманы приближенные асимптотические формулы для них. Эти-то приближенные формулы математики и называют своими пределами и математическими производными. В любом реальном применении теории следует учитывать, меньше чего не следует делать приращения, чтобы результаты теории соответствовали эксперименту"[5].

Интересно, что в дзен-буддизме существует понятие о минимально возможном промежутке времени.
"Известно представление о промежутке, в который невозможно поместить даже волосок….
Такой промежуток существует в том случае, когда два события следуют друг за другом без промедления, когда ни одна мысль не может их разделить" [6].

Я понимаю, что вопрос, который я поднимаю, спорный и нуждается в обсуждении. Предлагаю сделать это на Форуме.

1. А.Я. Хинчин – Восемь лекций по математическому анализу, - издание четвертое, М., "Наука", 1977.
2. Г.М. Фихтенголц – Курс дифференциального и интегрального исчисления. Для ун-тов и пед. ин-тутов. Изд. 7, 3 Т., М., Наука, 1969.
3. В.Л. Гинзбург – О физике и астрофизике, - Изд. 3, М., Бюро Квантум, 1995.
4. Я.Б. Зельдович – Высшая математика для начинающих физиков и техников, - 1982.
5. В.И. Арнольд – Что такое математика, - М., Издательства МЦНМО, 2004.
6. Такуан Сохо – Письма мастера дзен мастеру фехтования (В кн. Самураи: меч и душа), - Санкт-Петербург, Евразия, 2000.
 
Fatal error: Uncaught Error: Call to undefined function set_magic_quotes_runtime() in /www/htdocs/1dbcf2b3552b065fc49d8747114db86c/sape.php:262 Stack trace: #0 /www/htdocs/1dbcf2b3552b065fc49d8747114db86c/sape.php(343): SAPE_base->_read('/www/htdocs/1db...') #1 /www/htdocs/1dbcf2b3552b065fc49d8747114db86c/sape.php(418): SAPE_base->load_data() #2 /www/htdocs/links.html(7): SAPE_client->SAPE_client() #3 /www/htdocs/mathematics/mathan.html(233): include('/www/htdocs/lin...') #4 {main} thrown in /www/htdocs/1dbcf2b3552b065fc49d8747114db86c/sape.php on line 262