Физика для абитуриента. Математика для физика
Математика для физика. Куда движется математика?
О сайте
Порядок работы
Новости сайта
Контакт
Приёмная комиссия.
Вступительное задание.
Открытые уроки.
Учебники по физике.
Задачи по физике.
Справочник по физике.
Вопросы и консультации.
Рефераты.
Олимпиады и турниры.
Современная физика.
Весёлая наука.
Уголок крохобора.
Не только физика.
Директория ссылок.
Репетиторы
Малая академия наук.
Математика для физика.

Форум.

info@abitura.com

Математика для физика
Пишите...

Куда движется математика?

Брайан Дэвис ( Brian Davies ),
профессор математики Лондонского Королевского Колледжа

•  Введение

•  Доказательства с использованием компьютера

•  Формальная проверка доказательств

•  Простые конечные группы

•  Непротиворечивость арифметики

•  Обсуждение

•  Ссылки

 

Непротиворечивость арифметики

В этом разделе речь пойдет об огромном значении того факта, что доказательства простых высказываний могут иметь невероятную длину. Гёдель нас научил, что доказать внутреннюю непротиворечивость арфметики Пеано невозможно, однако все считают элементарную арифметику непротиворечивой de facto и как ни в чем не бывало ею пользуются.

Платоновские настроения, царящие в среде математиков, просто не дают им усомниться в безгрешности арифметики Пеано. Вслед за Кронекером многие стали считать, что натуральные числа открыты им путем прямого прозрения и, следовательно, существуют. А раз натуральные числа существуют и подчиняются аксиомам Пеано, следовательно аксиоматика Пеано есть данность, и ее надо считать априори непротиворечивой. При этом часто ссылаются на ожидаемые или замышляемые улучшенные модели аксиом Пеано, однако ожидания и замыслы сами по себе ничего не решают.

Если мы обратимся к истории, мы увидим множество примеров всеобщей уверенности в ошибочных постулатах, включая математические. Веками евклидова геометрия считалась адекватно описывающей свойства пространства, пока Риман, а затем Эйнштейн не доказали обратное. Статус аксиомы выбора, или аксиомы Цермело, сегодня ни у кого сомнений не вызывает, хотя в начале XX века ее приемлемость была предметом бурных споров. Сам Цермело со временем признал, что главная причина для принятия аксиомы выбора — это то, что без нее математики не смогли бы доказать целый ряд результатов, необходимых им в работе; см. [19, с. 56]. И все эти сомнения отнюдь не разрешены — они просто забыты большинством научного сообщества. Наконец, отметим, что уверенность Гильберта в возможности позитивного решения всех без исключения математических задач разделялась подавляющим большинством его современников и была поколеблена лишь Гёделем.

А ведь логически не исключена возможность того, что арифметика Пеано внутренне противоречива. Никаких свидетельств в пользу этого нет, и я вовсе не утверждаю, что вероятность этого высока — и всё же такая возможность сохраняется. Чтобы разобраться с этим, рассмотрим пример из теории групп. Возьмем следующий набор аксиом:

(1) Существует множество элементов  G , подчиняющееся аксиомам группы.

(2) Группа  G конечна, но не изоморфна никаким из известных простых конечных групп.

(3) Группа  G  — простая. Иными словами, если N  — подмножество  G с определенным набором свойств (со свойствами нормальной невырожденной подгруппы), то N  =  G.

Эти аксиомы можно сравнить с арифметикой Пеано. Третья аксиома аналогична по форме аксиоме индукции (или схеме аксиом в логике первого порядка) в том плане, что, взяв произвольный объект с определенными свойствами, она признает его равным  G (при этом мы допускаем свободный переход туда и обратно между подмножествами и предикатами). Хотя мы полагаем группу  G конечной, ее размер не задан, и значит нельзя просто перечислить все объекты этого типа, даже если на это будет отведено бесконечно много времени. Единственный способ понять работу этой системы аксиом — через доказательства на ее основе.

Тот факт, что аксиоматика, столь близкая к арифметике Пеано, может потребовать столь длинного доказательства своей противоречивости (если она действительно противоречива, как полагают многие специалисты по теории групп), заставляет усомниться и в непротиворечивости самой арифметики Пеано. Самое короткое доказательство противоречивости аксиом Пеано может занимать миллиард страниц, и мы никогда его не увидим. А раз мы никогда не столкнемся с противоречием, то какая нам разница, противоречива аксиоматика или нет? Мы можем и дальше доказывать теоремы и вскрывать интересные взаимосвязи между понятиями, даже не подозревая об ужасной истине!

Такая ситуация отнюдь не означает, что все наши усилия бесполезны. Имеется множество примеров в прошлом, когда выявленные противоречия в системах аксиом или неточности в доказательствах теорем успешно устранялись. В знаменитой книге Имре Лакатоша приводится пример замечательной способности математиков реагировать на контрпримеры, когда раз за разом исправлялись ошибки в формулировке теоремы Эйлера [17]. Самое известное противоречие было выявлено в формулировке, приведенной в «Основах математики» Фреге, для которой нашел парадокс Бертран Рассел. Двадцать лет потребовалось на устранение этой проблемы путем привлечения аксиоматики теории множеств и аксиомы выбора; при этом формулировка теоремы потеряла свою изначальную изящность. Интересные математические находки (в математическом анализе, по крайней мере) обычно весьма живучи, терпимы к изменениям в аксиоматике и излечимы от технических ошибок в доказательствах, хотя иногда и требуют расширения и уточнения условий теоремы.

<<Назад  |  Дальше>>



Fatal error: Uncaught Error: Call to undefined function set_magic_quotes_runtime() in /www/htdocs/1dbcf2b3552b065fc49d8747114db86c/sape.php:262 Stack trace: #0 /www/htdocs/1dbcf2b3552b065fc49d8747114db86c/sape.php(343): SAPE_base->_read('/www/htdocs/1db...') #1 /www/htdocs/1dbcf2b3552b065fc49d8747114db86c/sape.php(418): SAPE_base->load_data() #2 /www/htdocs/links.html(7): SAPE_client->SAPE_client() #3 /www/htdocs/mathematics/elementy_5.htm(106): include('/www/htdocs/lin...') #4 {main} thrown in /www/htdocs/1dbcf2b3552b065fc49d8747114db86c/sape.php on line 262