Физика для абитуриента. Математика для физика
Куда движется математика?
О сайте
Порядок работы
Новости сайта
Контакт
Приёмная комиссия.
Вступительное задание.
Открытые уроки.
Учебники по физике.
Задачи по физике.
Справочник по физике.
Вопросы и консультации.
Рефераты.
Олимпиады и турниры.
Современная физика.
Весёлая наука.
Уголок крохобора.
Не только физика.
Директория ссылок.
Репетиторы
Малая академия наук.
Математика для физика.

Форум.

info@abitura.com

Математика для физика
Пишите...

 

 


Куда движется математика?

Брайан Дэвис ( Brian Davies ),
профессор математики Лондонского Королевского Колледжа

•  Введение

•  Доказательства с использованием компьютера

•  Формальная проверка доказательств

•  Простые конечные группы

•  Непротиворечивость арифметики

•  Обсуждение

•  Ссылки

 

 

Введение

На протяжении большей части XX столетия в «чистой» математике царило замечательное единодушие относительно того, как нужно представлять результаты. Весь предмет сводился к комплексу теорем, каждая из которых, в конечном счете, выводилась из фиксированного набора аксиом путем так называемого строгого логического доказательства. В отдельных разделах математики, таких, например, как арифметика Пеано, справедливость аксиоматики выглядела самоочевидной, однако во многих случаях аксиомы попросту очерчивали рассматриваемую область вопросов. Для математиков, если только они не выходили за рамки математики, выступая в роли философов-любителей, принципиального различия между изобретением и открытием новых концепций не было.

В настоящей статье мы постараемся обоснованно показать, что последовательное развитие классических древнегреческих взглядов на математику неадекватно отражает современные тенденции в этой науке. Да, на протяжении веков они приносили заметный успех, однако три кризиса, разразившиеся в ХХ веке, заставляют нас пересмотреть статус лавинообразно нарастающих объемов современных математических изысканий.

Внешний консенсус среди математиков, как представителей математики , лишь дополнительно оттеняет вопиющие разногласия между исследователями философии математики. Главные споры здесь ведутся вокруг одного предмета, а именно — особого статуса математических объектов: если принять их существующими в некоем абстрактном платоновском мире, то непонятно, как можем мы, существа, живущие в реальном пространстве и времени, что-либо о них узнать. Довод, что, даже не имея прямого доступа к этим объектам, мы тем не менее можем силой логического разума приходить к определенным заключениям относительно них, неубедителен по следующим (в частности) причинам: следуя всё той же логике рассуждений и исходя из тех же постулатов, мы пришли бы к абсолютно тем же построениям и заключениям относительно свойств и связей между математическими объектами и в том случае, если бы платоновского мира, в котором они пребывают, вовсе не существовало. Взаимосвязи между онтологией и эпистемологией математики посвящены целые тома, однако справедливости ради остается лишь признать, что до согласия по этому вопросу пока далеко [5], [6], [25], [26].

Математики как философы-любители в отношении определения реального статуса предмета своей науки ушли не дальше философов-профессионалов. В качестве представителей многочисленных сторонников основных концепций назовем Роджера Пенроуза как реалиста (т. е. последователя Платона) [20], [21] и Пола Коэна как убежденного сторонника абстрактной концепции [12], [13]. Эйнштейн четко сформулировал свою позицию, заявив, что математика — продукт человеческого мышления, и поэтому даже самые убедительные математические выкладки и доказательства к реальному миру отношения не имеют [16]. Автор настоящей статьи в свое время также критиковал позицию последователей Платона [14]; сегодня же он полностью признает объективное существование математических величин, но лишь в карнапиевой интерпретации [15]. Согласно этой трактовке математические теории, возможно, и являются плодом человеческого воображения, однако при этом имеют строго определенные свойства — подобно правилам шахматной игры или римскому праву; аналогичным образом допускается и существование чисел — подобно существованию шахматных фигур. Хорошо еще, что математики, выступая в роли математиков как таковых, могут отбросить в сторону свои философские воззрения и благодаря этому во многом приходят к согласию. Но и в математической науке полного единодушия не наблюдается: конструктивисты признают лишь строгое, алгоритмически доказуемое понятие существования, которое более приемлемо с точки зрения прикладной математики, математического анализа, теории числовых методов и математической логики, нежели с точки зрения «чистой» абстрактной математики [7], [8], [9], [15].

Поразительные прозрения Курта Гёделя в 1930-е годы привели к первому из трех кризисов, о которых идет речь. Он продемонстрировал, что в рамках любой достаточно богатой системы аксиом, найдутся утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Он же установил недоказуемость непротиворечивости арифметики. Работы Гёделя широко обсуждались, однако часто с позиций явных или неявных субъективных философских предпосылок авторов такой критики. Например, вера самого Гёделя в то, что континуум-гипотеза либо истинна, либо ложна, вне зависимости от нашей способности доказать или опровергнуть ее, выдает в нем искреннего приверженца платоновской идеи в математике. Теоремы Гёделя носят чисто технический характер и не проводят принципиальной границы между истиной и доказуемостью в чисто математическом понимании, без привнесения элемента внешних философских предпосылок.

Можно было бы заподозрить Гёделя в чрезмерно высокой оценке полученных им результатов, если бы не эксцентричный характер самого ученого. В частности, его убеждение, что математическая интуиция по объективности восприятия не уступает органам чувств, явно противоречит единодушному мнению физиологов и психологов, согласно которому чувственное восприятие в значительной мере зависит от внутреннего устройства головного мозга человека [11], [14, с. 38]. У других гигантов математической логики отношение к своему предмету совсем иное. Например, Пол Коэн, обосновавший недоказуемость континуум-гипотезы, вовсе не разделял взглядов Гёделя и полагал, что теория множеств — не более чем аксиоматическая структура, а отнюдь не частная модель внешнего мира [12], [13].

При всём огромном объеме литературы, подчеркивающей важность работы Гёделя для понимания оснований и философии математики, на самих математиков (кроме специалистов в области логики, рассматриваемой как один из многих разделов математики) теоремы Гёделя долгие десятилетия практически никакого впечатления не производили. Ее прямая связь с основным руслом математической мысли вскрылась лишь когда было обнаружено, что проблема тождества слов и проблема изоморфизма групп с конечным представлением неразрешимы алгоритмическими методами и, как следствие, алгоритмически неразрешима задача о гомеоморфизме четырехмерных многообразий. Чем дальше, тем больше возникало такого рода проблем, однако большинство математиков с завидным упорством продолжало вспахивать свою ниву так, будто никакого Гёделя на свете не существовало.

Однако с 1970-х годов в математике произошли еще два кризиса — и оба столь же непредсказуемые, как и кризис, вызванный работой Гёделя. Оба они связаны с проблемой переусложненности: доказательства стали настолько длинными и сложными, что ни один ученый не взял бы на себя смелость однозначно подтвердить или оспорить их правильность. Эти кризисы в философской литературе широко не обсуждались, хотя как раз они сказались на математическом мышлении и отношении математиков к своей науке значительно серьезнее, чем кризис, вызванный теоремами Гёделя. В октябре 2004 года Королевское общество провело в Лондоне двухдневную дискуссию на тему «Природа математического доказательства», посвященную возможным путям выхода из вышеназванных кризисов [10]. Дискуссия выявила широкий спектр мнений по этому вопросу — и ни одного приемлемого решения. Налицо была проблема серьезного взаимного непонимания между математиками и кибернетиками.

На первый взгляд «кризисы переусложненности», о которых пойдет речь, носят эпистемологический характер и никак не связаны с онтологией математики. С другой стороны, некоторые математики рассматривают свою дисциплину как созидательный процесс, то есть уподобляют ее скорее архитектуре, а не науке. Можно проповедовать любые идеи, оставаясь в рамках определенных базовых правил, и для этого нет никакой нужды проводить четкое разграничение между онтологией и эпистемологией. Означенные кризисы можно уподобить кризису человеческой мысли, когда человек осознал, что построить сооружение тысячекилометровой высоты невозможно и обсуждать, какими бы такие сооружения могли быть, всё равно что предаваться фантазиям.

 

| Дальше>>

 


Работа для студентов математиков

О сайте
Порядок работы
Новости сайта
Контакт

Вверх .

Главная страница .

Rambler's Top100Rambler's Top100