В.Арнольд

Истории давние и недавние

Предисловие

Весной 1998 года парижская полиция подобрала меня, лежащего без чувств с пробитым лбом рядом с моим велосипедом, и доставила в больницу. За несколько недель французские врачи вытащили меня из бессознательного состояния. Но я не узнавал сына и сказал о жене:

— Эта женщина утверждает, что она моя жена.

Врач поинтересовалась:

— А сколько лет вы женаты?

Я правильно ответил:

— Двадцать четыре.

Врач записала: «Арифметические способности сохранены».

Потом французские врачи говорили мне, что при таких повреждениях мозга любой француз умер бы сразу.

— Но русские — двужильные, — добавили они. — Несколько месяцев ещё проживёте.

В западном учебнике я прочёл о смертельных дозах ядов: «Что касается алкоголя, то для русских смертельная доза в несколько раз выше». Видимо, с травмами дело обстоит аналогично.

Впрочем, когда я и через полгода не умер, а напротив, стал выздоравливать, то врачи нашли для этого научное оправдание: они обнаружили, что я, не зная того, переученный левша. А в таком случае неповреждённое полушарие мозга может временно взять на себя функции повреждённого, пока то не оправится, что и произошло.

Французские врачи запретили мне не только заниматься математикой, но и писать о ней. Однако отвечать на письма многих друзей не запрещалось. Из таких ответов и возникли многие тексты, собранные в этой книжке. Я не думал тогда об их издании, поскольку считал в то время, что вот-вот умру.

Необычным оказалось то, что у этих записей были черновики (обычно я сразу пишу на нужном языке набело). И когда я наткнулся на эти черновики пару лет спустя, то понял, что читать их интересно не только мне. При подготовке записей к изданию кое-что пришлось уточнять, пояснять, дописывать; заодно были написаны несколько новых историй. Так получилась эта книжка.

Первые мои воспоминания — село Редькино под Востряковым; думаю, июнь 1941 года. Солнце играет на внутренности сруба, смолятся сосновые бревна; на речке Рожайке — песок, перекат, синие стрекозы; у меня была деревянная лошадка «Зорька» и разрешалось мне покормить с руки куском чёрного хлеба с солью здорового коня. Конь таскал сеялку и после жнейку, сиденье железное в дырочках — мечта!

Но вот началась война: бомбоубежище в Москве на Трубниковском; роем окопы (щели) в своем саду (на Спасопесковском, дом 8); театр Вахтангова разбомблён при попытке попасть в Бородинский мост; лучи прожекторов, самолёты, осколки...

Эвакуация в Казань и потом в Магнитогорск. В Казани я спал у Чеботарёва под роялем, но помню больше кино в парке — паровоз идёт на нас с простыни... Потом Магнитогорск — совсем другой мир: просо, огороды, дежурства. Друзья: Катаевы, Урновы — в том же доме. «Красная Шапочка» на Новый год (девочек не было, роль Шапочки досталась мне). Начал учить французский (бабушка долго жила в Страсбурге с братом Л. И. Мандельштамом и у меня, говорят, до сих пор сохранился страсбургский акцент). Первая книжка — «Робинзон Крузо», позже «Таинственный остров». Писать я всё же сперва научился по-русски. И родители, и бабушка болтали свободно по-английски, по-немецки и по-французски, но я понимал только французский.

За молоком — в деревню. Веретено и пряжа. Мены. Сбор урожая проса и картошки с нашего участка. Проливные дожди и потоп. Люди тонули, не могли вернуться с участков. Мать преподавала английский кому-то в дирекции завода, за ней приезжал роскошный автомобиль с откидными сиденьями (линкольн, кажется).

Быть может, наибольшее научное влияние оказали на меня из числа моих родственников двое моих дядьёв: Николай Борисович Житков (сын брата моей бабушки писателя Бориса Житкова, инженер-буровик) за полчаса объяснил двенадцатилетнему подростку математический анализ (иллюстрируя его параболоидальной формой поверхности чая, вращающегося вокруг оси в стакане), а Михаил Александрович Исакович (брат моей матери, физик) пробовал на мне многочисленные задачи и главы учебника физики, который он писал в составе большого коллектива, руководимого Г. С. Ландсбергом (оба были учениками Л. И. Мандельштама, крупнейшего физика и радиотехника, брата другой моей бабушки).

Свой первый научный доклад я сделал в возрасте лет десяти в «добровольном научном обществе», организованном Алексеем Андреевичем Ляпуновым у себя дома. Там мы занимались то физикой, то биологией (включая запрещённую генетику и кибернетику), то космологией, то геологией. Мой доклад был об интерференции волн, с опытами в ванне, с описанием определения положения самолёта над Тихим океаном по пересечению двух гипербол (заданных разностями фаз сигналов от трёх радиостанций): заодно я разобрал и объяснил теорию конических сечений, сферы Данделена, переход от эллипсов к параболам и к гиперболам, с одной стороны, и принцип Гюйгенса теории распространения волн, с другой. «Общество» собиралось еженедельно, и мы все сохранили наилучшие отношения, хотя в дальнейшем занимались разными вещами: один стал знаменитым кардиологом, несколько членов общества теперь академики РАН.

На время весенних школьных каникул мы отправлялись в деревню, на хутор мельничихи Магдалины Петровны близ Пушкинского Захарова. Однажды (мне было, вероятно, лет одиннадцать) мы — члены «Общества» — втроём побежали на лыжах километров за двадцать по лесу без лыжни в Мозжинку (около Звенигорода), где жили Ляпуновы. Карты у нас не было, но бежать надо было почти точно на север. Ляпуновы благополучно напоили нас чаем, но обратный путь на лыжах оказался труднее, так как, во-первых, стемнело, а во-вторых, лёд на Москве-реке, которую нам надо было опять перейти, уж очень трещал (вскрылась же она только на следующий день, так что под лёд я всерьёз провалился лишь десятью годами позже). Кончилась эта экспедиция благополучным возвращением, благодаря взошедшей луне, — мы прибежали домой даже раньше полуночи.

С тех пор я бегаю по этим местам каждый март — впоследствии со своими учениками, причём длина трассы (продолженной до Опалихи) достигает 60 км, а некоторые речки преодолевать приходится иногда вплавь.

Быть может, главным для меня выводом из моих частых детских разговоров с замечательными учёными разных специальностей было ощущение глубокого единства всех наук (включая не только математику, физику и астрономию, но и лингвистику, и археологию, и генетику), да и всей европейской культуры, от Лукреция до Бенвенуто Челлини и от Марка Аврелия до капитана Скотта. Один и тот же человек мог рассказывать нам и об особенностях греческого театра, и о квантово-механическом соотношении неопределённостей. Алексей Андреевич Ляпунов, математик и логик, демонстрировал детям теорию Канта—Лапласа образования Солнечной системы, вращая в колбе смесь анилина с глицерином, пока анилин не собирался в подобные планетам шары. И он же давал нам читать сочинения шлиссельбуржца Морозова, дискутировавшего историческую хронологию с астрономических позиций; но при обсуждении этих проблем никогда не возникал тот вздор, которым их окружили безответственные продолжатели Морозова позже.

Удивительно, сколь много могут перенимать дети от людей этого «нобелевского» уровня просто в повседневном общении.

В отцовской библиотеке половина книг была на иностранных языках, и мне дозволялось рыться во всей библиотеке по своему разумению, только иногда меня предупреждали, что какую-нибудь книгу «лучше не читать до 30 лет, чтобы не испортить впечатления». Странным образом, я не стремился специально читать то, что не рекомендовалось. Например, в многотомном Парижском полном собрании Мопассана мать ногтем отметила мне рекомендуемые названия, и я действительно, долго не читал других (по-французски я научился читать немного раньше, чем по-русски, и, между прочим, когда после мозговой травмы я месяц пролежал в больнице без сознания, то, придя в себя, вначале понимал только французский и только по-французски говорил, позже присоединился английский, и лишь затем русский).

Мне долго казалось, что второпях, когда нет времени перечесть и исправить, я, на каком бы языке ни писал, пользуюсь скорее немецкой грамматикой с длинными сложными предложениями, не пренебрегая возможностью вставить в конце фразы отрицание. Я думал, что это связано с немецкими генами Арнольдов, но позже лингвисты разъяснили мне, что немецкая грамматика обладает какой-то фундаментальной примитивностью, которая была когда-то присуща и всем языкам, но от которой другие, в процессе совершенствования, в конце концов удалились.

Из нематематических книг меня поразила полка, где, наряду с необыкновенно старой и растрёпанной копией «Путешествия из Петербурга в Москву» были иностранные книги о карбонариях. Только теперь я начинаю понимать, что Радищев, карбонарии и антицаристские революции в России — не независимы: старшие в семье на мои недоумённые вопросы о порядке книг на полках отвечали невразумительно, — дескать, БСЭ и Брокгауз и Ефрон стоят всё же рядом.

Из математических книг (которых было много) я сперва прочёл курс анализа Грэнвилля и Лузина, который легко понял, так как уже крутил чашку с чаем на диске патефона.

Кроме патефонного диска я соорудил себе для этого опыта вертушку на базе велосипеда. Она позволила также осуществить стробоскопическое освещение, свет которого, как в кино, периодически прерывается вращающимся диском с отверстиями. При стробоскопическом освещении не слишком сильной параболически бьющей вверх струи воды она на вид разбивается на капли. Меняя скорость вращения диска, можно даже «остановить» эти капли или «заставить их двигаться назад».

Книги коллекции Бореля наводили на меня скуку; Лопиталь и Гурса, которого так заклеймили Бурбаки, были куда интереснее, и я их читал охотнее. Была ещё многотомная немецкая математическая энциклопедия под редакцией Ф. Клейна, благодаря которой я освоился с готическим шрифтом — все эти старые книги ещё не отличались тем пренебрежительным отношением к читателю, которое стало теперь стандартным и из-за которого в современных математических книгах понять ничего нельзя. Но немецкий я выучил только в университете, а до того он был как бы криптограммой.

Было много замечательных книг серии «Матезис», в том числе популярные книжки Пуанкаре — в этой серии математика и физика соединялись.

Моя первая (совместная с А. А. Кирилловым) математическая работа никогда не была опубликована, хотя мы (студенты-младшекурсники) и переписали её (по приказу поставившего нам задачу профессора Е. Б. Дынкина) семь раз. Дело в том, что переписав седьмую версию, я совершенно случайно открыл в своей библиотеке древний французский кожаный томик учебника Коши и наткнулся на практически ту же самую теорему, которую я только что доказал.

Когда я начал преподавать, пришёл очень способный первокурсник, я дал ему задач, и он исчез. Через несколько недель звонит:

— Владимир Игоревич, это я, Аскольд. Вы, наверное, волнуетесь?

— Да!

— Это зря. Я в больнице, меня туда доставили с Белорусского: у меня немного сломаны ноги!

— Как это? Вы под поезд попали?

— Нет, до поезда было ещё метров 50. Я просто упал с платформы на пути.

— Вы что, выпили?

— Нет, просто был час пик и на платформе было слишком много народу, а я ехал на велосипеде...

Встретил я однажды в лифте Университета пожилого профессора X .

— Здравствуйте! — сказал он. — У нас умер заведующий кафедрой Y , и я хочу провести на его место в профессора доцента Z , — он уже чуть не 20 лет как доктор. Тогда, — добавил X , — я и M смогу помочь! А то все хотят провести N — такого пустого и нехорошего.

— Желаю успеха! — ответил я. — Я очень ценю Z .

И поехал по своим делам дальше.

Вечером встречаю друга с той же кафедры, что X , и он мне говорит:

— Ты смотри, каков X ! Мы думали он будет за Z , а он предложил поделить профессорское место между M и N , a Z и не назвал. Но тут проснулся O и говорит: «Что у нас, совсем совести нет? Очередь за Z »; и Z провели (один голос против).

Говорят, в записной книжке L было чёрным по белому написано: «Никогда не иметь дела с сукой A и с гнидой X ».

— A всегда был везунчик, — говорил мне B . — Например, велели нам обоим вступать в партию, время было страшное, подали заявления. Но он был везучее: к моменту приёма у него уже был адюльтер. А у меня ещё не было. Вот всю жизнь и мучаюсь в партии...

Другой рассказ B :

— Я на семинаре всегда кратко представляю докладчика. Раз C говорит: «Мне только что дали N-скую премию, упомяни в представлении». Я упомянул, а он начал свой доклад словами: «Ну, зачем и говорить об этой мелочи».

Я. Б. Зельдович написал замечательный учебник «Математика для начинающих физиков и инженеров». Математики пришли в ярость и устроили битвы из-за его (якобы) нестрогости и ошибочности. В конце концов главный критик Понтрягин написал свой (скучнейший) учебник математического анализа для начинающих. В предисловии он заявил, что некоторые физики считают, что можно грамотно пользоваться анализом, не восходя до исчерпывающего исследования его обоснований. И добавил: «Я с ними согласен».

Зельдович был обижен:

— В таких случаях цитируют оппонента, — говорил он. — А так эта цитата — плагиат.

В учебнике Зельдовича производная определялась как «отношение приращения функции к приращению аргумента, в предположении, что последнее достаточно мало».

Никаких пределов он здесь рассматривать не хотел, так как, по его словам, «приращения, меньшие 10 –10 , всё равно нет смысла рассматривать: ведь структура и пространства, и времени в столь тесной близости вовсе не описывается математическим континуумом».

— Нас, — говорил он, — всегда интересует именно отношение конечных приращений, а производные математиков — это просто приближённые математические формулы для вычисления отношений этих конечных приращений.

М. Л. Лидов как-то объяснил мне, что математические теоремы, вроде теоремы единственности в теории дифференциальных уравнений, противоречат физической реальности. Например, две интегральные кривые уравнения x ? = – x (с разными начальными условиями x (0) = 0 и x (0) = 1) практически пересекаются при t = 10 или 20. Из-за этого корабль не может плавно пристать к пристани, управляя двигателем: либо произойдёт удар, либо потребуется бесконечное время. Вот почему последний этап швартовки матрос завершает вручную, набросив причальный трос на кнехт пристани. По этой же причине при посадке космических кораблей на Луну и на Марс они должны попрыгать на упруго демпфирующих удары ногах, — вот из-за чего Лидов и знал все эти тонкости с теоремой единственности.

В храме Христа Спасителя было четыре агатовых колонны. При взрыве их спасли — перевезли в Донской монастырь, а потом в Университет. Когда Храм стали восстанавливать, их стали искать — нигде нет. В конце концов один корреспондент стал фотографировать все колонны МГУ и вечером уборщица указала ему, что искомые четыре — в кабинете ректора. Там они и остались: ведь Университет — Храм Науки.

Один раз довелось мне принимать у оканчивающих мехмат МГУ студентов дипломный экзамен по основам марксизма-ленинизма. Накануне встретила меня в университете начальница партийной организации кафедры и попросила защищать наших студентов на этом экзамене: обычно это доверяли кому-либо из членов партии, но на этот раз все разъехались уже на летние каникулы (дело было в конце июня) и пришлось заменить их мною.

Вот запомнившиеся мне примеры (всего студентов было человек тридцать). Экзамен длился часов шесть. Каждого студента опрашивали двое: сначала он тянул билет, потом готовился, отвечал на вопрос билета и — самое главное — на дополнительные вопросы экзаменаторов.

Помню блестящего чёрного студента: он блестел как хорошо начищенный сапог и знал наизусть ответы на все вопросы. Я хотел после всех ответов поставить ему «отлично», но мой напарник-марксист не согласился на большее, чем «удовлетворительно». После длительного спора он объяснил мне:

— А вы знаете, из какой он страны?

— Нет, не знаю.

— Так вот, из Республики Чад. Это значит, что, вернувшись домой, он обвинит нас всех в фашизме. Как можно ставить отметку выше, чем «удовлетворительно»?

Довод на меня не подействовал, но в конце концов марксист меня убедил согласиться с «удовлетворительно» — он доказал мне, что ни на одном предшествовавшем математическом экзамене этот студент не получал отметки выше «удовлетворительно»: он ничего ни в чём не понимал, а всё только вызубривал — как в математике, так и в марксизме.

Затем отвечала девушка-татарка. В билете ей досталось «атеистическое воспитание молодёжи». Она всё, что полагалось, произнесла, процитировав даже и Яна Амоса Коменского, и Крупскую. Но марксист был явно недоволен и спросил:

— Ну, а вы, лично вы, в бога-то верите?

Студентка была умная, она задумалась ровно на полсекунды и ответила:

— Я комсомолка, а комсомольцы ...

— Это правильно вы говорите, — сказал преподаватель. — Но я не об уставе комсомола спрашивал, а о вашем личном мнении. Ну хорошо, вот у нас в Москве есть ли мечеть?

Девушка не растерялась и тут:

— Должна быть, — уверенно ответила она.

— И это верно. А какой у неё адрес?

— Не знаю.

Когда мы отпустили студентку, преподаватель стал ругать её за лицемерие — он был уверен, что она верующая мусульманка и настаивал на отметке «удовлетворительно». Всё же мне удалось отспорить ей отметку «хорошо» — он доказал мне, что именно такие у неё отметки в зачётной книжке по математике, так что больше ей и не нужно.

Наконец, дошла очередь до отличного студента, работу которого по математике я знал. Этому требовалась отличная отметка и на экзамене по марксизму, чтобы поступить в аспирантуру. У него спросили: «Окончательно ли у нас построен социализм?». Он ответил, что «согласно решению такого-то съезда партии, основы социализма построены полностью». Тогда спросили: «Ну, и навсегда?». Он ответил, что «согласно постановлению пленума от такого-то месяца, основы социализма построены окончательно». Тогда последовал неожиданный вопрос:

— Кто вёл упражнения по марксизму в вашей группе?

— Иванов.

Когда студент ушёл, преподаватель стал требовать, чтобы мы оценили его знания как «удовлетворительные». Я стал сильно протестовать, и тогда он объяснил мне свою точку зрения:

— Этот Иванов работает у нас на кафедре, но у него по этим вопросам совершенно неверные мнения и вот он внушает их студентам!

Но всё же в этом случае я в конце концов победил — добился оценки «отлично», студента приняли в аспирантуру и он защитил впоследствии замечательную диссертацию.

Провалился под лёд я без лыж в первые дни мая, переходя по льду входящее теперь в черту Москвы стометровое озеро «Миру — мир». Началось с того, что лёд подо мной стал слегка прогибаться, и под кедами показалась вода. Вскоре я понял, что форма льда — гауссовская колоколообразная (перевёрнутая) кривая. Ещё через минуту стало ясно, что я наблюдаю фундаментальное решение уравнения теплопроводности (в обратном времени). И, действительно, слегка не дойдя до дельта-функции, лёд провалился, и я оказался в проруби диаметром в полметра, метрах в тридцати от берега.

Хотя толщина льда, почти уже белого от многочисленных заполненных водой трещинок, была 5–10 сантиметров, вылезти на него оказалось очень трудно. Этот лёд, который минуту назад удерживал меня вместе с гауссовой лужей метра четыре в диаметре и полметра глубиной в центре, теперь немедленно ломался, когда я клал руку на край проруби. В конце концов прорубь расширилась и позволила мне разогнаться вплавь и выброситься не ещё нетронутый лёд, по которому я и двигался дальше ползком, пока не перешёл озеро до конца.

Связь прогиба льда с уравнением теплопроводности меня уже тогда не удивила, так как я читал воспоминания фон Кармана, который ответил в Москве какому-то специалисту на вопрос о поведении решений одного уравнения с частными производными:

— Это вы хотите танки через Байкал перегонять?

Фон Карман напугал тогда принимавших его лиц своим мгновенным предсказанием серии дождей во Внукове:

— Дело в том, — сказал он, — что над нами сейчас проходит дорожка Кармана.

В конце войны Карману было поручено перевезти в США немецких специалистов по ракетам, не допустив их захвата русскими. Он, действительно, привёз фон Брауна (и тем основал американскую ракетную промышленность), в то время как попавшие в Россию представители Пенемюнде (где делались Фау-2) были поселены на острове Городомля посреди Селигера и всегда сожалели о том, что их знания и умения так и не были использованы по-настоящему. (Карман воспитал также китайского помощника фон Брауна в США, который впоследствии вернулся в Китай и создал там ракеты.)

Отбирая специалистов, Карман двигался сразу же за передовыми отрядами наступающей американской армии, и в Гёттингене встретился со своим старым учителем, Прандтлем (который и для Колмогорова значил в гидродинамике более, чем кто-либо). Прандтль сообщил, что он и не подозревал об ужасных преступлениях нацизма, о концлагерях, фотографии которых стали тогда публиковаться, и т.п.

— С вашим умом это можно было бы вычислить , господин учитель, — ответил Карман.

В 1965 году, вероятно в марте, я жил в Ситэ Университэр в Париже и однажды вечером, выйдя на Бульвар Периферик, встретил длиннющий американский лимузин. Водитель, cornfed American, спросил меня (я думал, что по-немецки): «Чампл Зи?» После нескольких попыток объяснить мне, что ему нужно, он обратился внутрь лимузина, где сидели одетые в цветастые и почти детские платья с фестончиками американские старушки, за советом. После ряда консультаций вопрос принял форму «Чамп Элайзи?» — вследствие чего я начал их понимать и вскоре объяснил, как им проехать на Елисейские поля.

Лет через двадцать пять моя жена учила французский после английского. Пытаясь исправить её американский акцент, я рассказал ей историю «Чампл Зи». На следующий день на уроке у них появился рассказ о канадском семействе, поселившемся в отеле на авеню де Шанз Элизэ (авеню Елисейских полей). Когда жене пришлось читать на уроке вслух эту историю и она дошла до адреса отеля, то не смогла удержаться и прочла (за канадца) «авеню де Чамп Элайзи» — к большому восторгу преподавателя.

Как это ни странно, совершенно такая же история произошла и со мной самим на Учёном совете Математического института имени В. А. Стеклова. В течение многих лет председателем этого Совета был Иван Матвеевич Виноградов — теоретико-числовик, который никогда не мог правильно прочитать название диссертации, если там встречалось трудное слово «дифференциальные уравнения». Он всегда читал «диофантовы» вместо «дифференциальные» — теоретике-числовику так проще. (Перепутав вдобавок фамилию оппонента, Виноградов оправдывал себя словами: «Ну, ничего, не велика птица».)

Прошло много лет, Виноградов умер, и вот однажды объявлять название диссертации пришлось мне. Конечно, я сразу вспомнил об ошибках Виноградова. Но диссертация была «об одном свойстве некоторых диофантовых уравнений». Когда я дошёл до этого названия, то прочёл его как «об одном свойстве некоторых дифференциальных уравнений».

Уроки французского и английского в США, Франции и Англии привели меня к многим парадоксальным выводам. Например, студентам по английской литературе в английском Кембридже пришлось объяснять, кто такой Шелли. В Гарварде студентка по истории искусств так отвечала по-французски преподавателю:

— Были ли вы в Европе?

— Да.

— Посетили ли Францию?

— Да.

— Заехали ли в Париж?

— Да.

— Видели ли Собор Парижской Богоматери?

— Видела.

— Понравился ли он вам?

— Нет!

— Почему?

— Он такой старый!

Французская культура ближе к привычной нам. Но в 1836 году Скриб в своей речи при вступлении во Французскую Академию 1 ругал Мольера за то, что тот плохо отразил основные проблемы своей эпохи в своих пьесах — например, совершенно не упомянул об отмене Нантского эдикта (уравнявшего протестантов в правах с католиками). Французский «Словарь глупостей», из которого я взял эту речь, указывает в примечании, что Нантский эдикт был отменен через 12 лет после смерти Мольера. Впрочем, французские философы XIX века ругали Папу Римского за то, что он «сжёг Галилея».

От коллег (и во Франции, и в английском Кембридже) я слышал поправку к этому обвинению: «Здесь, конечно, имя Галилея стоит по ошибке: речь шла, на самом деле, о Тихо Браге».

Имя Джордано Бруно знают практически только в России. Папа Римский сказал мне в 1998 году, что Бруно невозможно амнистировать, пока не подтверждена его еретическая теория множественности обитаемых миров (не противоречащая, по словам Бруно, Святому Писанию): «Вот найдите инопланетян, тогда можно будет обсудить!».

Недавно Академия рысей (Линчей) 2 посвятила заседание памяти скончавшегося в 1993 году Бруно Понтекорво — физика, жившего с 1950 года в России, работавшего долгие годы в Дубне в Институте ядерной физики.

Докладчик рассказал о происшествии, случившемся с Понтекорво много лет назад. Блуждая по окрестностям Дубны, Понтекорво заблудился, но к вечеру нашёл трактор, и тракторист взялся его подвезти. Желая быть любезным, тракторист спросил, чем именно Бруно занимается в Институте. Тот честно ответил «нейтринной физикой» (одним из создателей которой Понтекорво стал уже в 30-е годы). Тракторист вежливо сказал:

— Вы хорошо говорите по-русски, но всё же есть некоторый акцент. Физика не нейтринная, а нейтронная!

Рассказывая в Италии об этом происшествии, Бруно добавлял:

— Надеюсь, я доживу до времени, когда уже никто не будет путать нейтроны с нейтрино!

Комментируя этот рассказ, докладчик заметил:

— Теперь, хотя Бруно до этого не дожил, его предсказание, пожалуй, сбылось: сегодня люди ничего не знают не только о нейтрино, но и о нейтроне!

Читая в Дубне в 2000 году лекцию для учителей «Нужна ли в школе математика?», я, ссылаясь на описанное выше предсказание Понтекорво, добавил: «Видимо, все эти прогнозы относятся не только к нейтрино, но и ко всей науке, в том числе и к математике — наши сегодняшние дискуссии о преподавании математики станут скоро бессмысленными потому, что никто в мире не будет уже знать, чем отличается треугольник от трапеции!».

Правительства всех стран наступают сейчас на науку, культуру и образование (этот процесс американизации часто неправильно называют глобализацией). Л. Н. Толстой писал: «Сила правительства держится на невежестве народа, и оно знает это, а потому всегда будет бороться против образования». 3

Как математику, мне особенно приятно вспоминать представленную Бруно Понтекорво в ДАН (Доклады Академии наук СССР) статью «О размерностях физических величин» Ораса де Бартини. Она начиналась словами: «Пусть A есть унарный и, следовательно, унитарный объект. Тогда A есть A , поэтому...», а заканчивалась благодарностью сотруднице «за помощь в вычислении нулей пси-функции».

Эту зло пародирующую псевдоматематический вздор статью (опубликованную, помнится, около 1 апреля) студенты моего поколения знали давно, так как её автор — замечательный итальянский авиаконструктор, работавший в России совсем в другой области науки, 4 — пытался опубликовать её в Докладах уже несколько лет. Но академик Н. Н. Боголюбов, которого он об этом просил, не решился представить эту заметку в ДАН, и только избрание Бруно Понтекорво действительным членом Академии сделало эту очень полезную публикацию возможной.

Но, к сожалению, и Доклады, и другие математические журналы до сих пор полны «унарными объектами» и подобным вздором. Последнее время, правда, РАН начала передавать права на издание английской версии своих научных журналов издателю «Пентхауза» (видимо, думая: «Туда им и дорога!»).

Когда я стал заниматься в библиотеке Института Анри Пуанкаре в Париже в 1965 году, французские математики встретили меня очень радушно. Со времён террора в Париже обязательно называть друг друга на «ты», и в кругах интеллигенции этот обычай свято соблюдается до сих пор.

— Я хочу тебя научить, как отличить хорошую математическую работу от плохой, — сказал мне один очень хороший математик. — Через месяц после того, как моя работа вышла, я захожу в библиотеку Института и отыскиваю нужный номер журнала на полке. Если статья ещё не украдена, значит она была плохая!

Вероятно, не из-за этого Институт Пуанкаре вскоре закрыли. Сейчас, после перерыва в пару десятилетий, он снова работает, но я не знаю, сохранила ли библиотека прежние патриархальные нравы: ксерокс и электроника сделали вырезывание страниц с нужной статьей старомодным.

Радушие французских коллег простиралось до того, что они приглашали меня на конгресс Бурбаки. Когда же я ответил, что совершенно не сочувствую этой секте, то мне объяснили, что они считают меня «московским бурбакистом» (вероятно, напрасно: для меня примеры всегда важнее общих положений, а индукция предпочтительнее дедукции).

В марте 2001 года я даже удостоился двухчасовой публичной дуэли с представлявшим Бурбаки крупнейшим французским математиком Ж.-П. Серром в Институте Пуанкаре в Париже. Серр доказывал, что нуль — положительное число, так как он больше нуля (по Бурбаки это так!). Я же отстаивал мнение, что математика — часть физики и, как и физика — наука экспериментальная, отличающаяся только тем, что в физике эксперименты стоят обычно миллиарды долларов, а в математике — единицы рублей. Завершая дуэль, Серр сказал, что математика — наука столь замечательная, что двое со столь полярно противоположными взглядами не только оба остались живы после дуэли, но и могут продолжать плодотворно сотрудничать, даже если ни англосаксы, ни русские не признают, что каждое вещественное число больше самого себя, как это очевидно любому французу. Вероятно, именно снобизм «чистых» математиков и подобных им «экспертов» других специальностей заставляет общество и правительства пренебрежительно относиться к фундаментальной науке и поощрять только так называемые «прикладные науки». Например, германские физики были ближе всех к атомной бомбе в начале Второй мировой войны, но атомные исследования были у них сочтены чистой наукой, не имеющей (и не будущей иметь в обозримое время) прикладного значения. То же происходило и у нас. Ленинградский физтех в 1936 году осуждался за занятия «оторванными от практики проблемами» вроде ядерной физики.

И. В. Курчатов, под руководством которого уже шли первые исследования по физике ядра и частиц, с началом войны немедленно перешёл на «прикладную работу» (по обеспечению безопасности военных кораблей от магнитных мин). И только прекращение американских публикаций по ядерной технике помогло убедить наше начальство в прикладном её значении.

П. Л. Капица пытался объяснить Сталину, что «дирижёр должен не только махать палочкой, но и понимать партитуру» (он имел в виду главного руководителя проекта, не имевшего физического образования). Впрочем, в письме самому этому наркому он писал: «В случае, если я замечу со стороны Ландау какие-либо высказывания, направленные во вред советской власти, то немедленно сообщу об этом органам НКВД» — и этим, по-видимому, способствовал освобождению Ландау из Бутырок. [ Ландау посадили в апреле 1938 и выпустили в апреле 1939 года. К этому времени он уже, что называется, «доходил». Хлопоты Капицы в деле его освобождения были решающими и Ландау помнил об этом всю жизнь. Поэтому он спокойно относился к властному, а порой и грубому отношению Капицы к себе, чего вряд ли потерпел бы со стороны кого-либо другого. — E.G.A. ]

«Прикладные» математики разработали позже компьютерный метод поиска полезных ископаемых и нашли золото в долине, где геологи его не ожидали. Но при обсуждении этой работы в престижном Комитете один очень квалифицированный математик усомнился и премии не дали. Через некоторое время важный администратор заявил, хваля этого математика:

— А какой он был умный! (тот к этому времени, кажется, уже умер).

— Что, — спросил другой член Комитета, — теоремы были неверные?

— Какие теоремы! — воскликнул босс. — Золото было подброшено!

В настоящее время компьютерные мафии всего мира осуществляют долговременный план уничтожения математической (и всякой другой) науки, культуры и образования. Сначала ликвидируются книги и журналы, потом — лекции, экзамены и т.д. Академик Е. Л. Фейнберг в замечательной книге «Эпоха и личность. Физики» (М.: Наука, 1999) пишет, что «в условиях террора погружение в науку есть единственная возможность для учёного сохранить себя как личность: были бы только лаборатории и библиотеки». Так вот, их-то скоро и не будет.

Вот ещё пример компьютерного бескультурья. Помещая в Internet мою популярную статью (кстати, без моего разрешения и моего контроля), компьютерщики исказили мою оценку роста метеорологических возмущений за несколько недель. У меня стояло «примерно в 10 5 раз» (т.е. возмущения нарастают в сто тысяч раз, делая динамическое прогнозирование погоды на такой срок принципиально невозможным). В электронной версии вместо этого было «примерно в 105 раз». Кроме грубейшего искажения смысла, эта ошибка свидетельствует о полной утрате общей культуры: культурный человек не может сказать ни о чём «примерно 105» — если уж «примерно», то 100! [ Про 105 — это не я; что до остального, то грешен — разрешения не спрашиваю. :) — E.G.A. ]

«Литературная газета» (№ 40, 3–10 октября 2001 г.) опубликовала в кроссворде «Истинная слава нации» (решение в № 41), что слова «радуга» и «прокурор» пересекаются по общей для них пятой букве радуги и четвёртой — прокурора. Истинная или не истинная, но слава нации от такой безграмотности в ведущей московской газете не прирастает. Боюсь, однако, что газета, увы, правильно отражает культурный уровень города и страны, как это и должно быть.

При подготовке к Всемирному Математическому конгрессу в Киото я был членом Программного комитета, который собирается несколько раз для отбора приглашённых докладчиков. Второе заседание было в Париже, а через неделю после него я должен был быть в Пизе по приглашению Высшей Нормальной Школы, а затем в Риме по приглашению Академии Линчей.

Приехав в Париж, я сразу же отправился в итальянское консульство, но там меня разочаровали: «У вас служебный паспорт; столь важные дела решает посольство, а не консульство!».

В посольстве были вежливее: «Мы немедля вышлем визу, через месяц после того, как вы доставите обращение, подписанное советским посольством».

Отправляюсь туда; тоже вежливы: «Отдавайте, — говорят, — паспорт, мы пошлём его в Москву, через два месяца будет ответ и ещё через три недели мы составим письмо итальянцам».

После этого, не отдав паспорта, я отправился на заседание Программного Комитета (в Коллеж де Франс).

— Что ты грустен нынче? — спрашивает меня К., председатель Комитета.

Объясняю. Он улыбается и зовёт секретаршу:

— Николь, вот паспорт, сходи в итальянское посольство за визой.

К обеду Николь принесла визу. Я, поражённый, стал учиться её искусству.

— Это так просто, — говорит Николь. — Всё дело в отделе планирования.

— Что за отдел?

— Ну, это в каждом посольстве есть такой, чистая теория матриц!

— Каких матриц?

— Матрица — это таблица с двумя входами. Входы — все государства. В клеточке ( i , j ) стоит число визовых неприятностей государства i государству j в прошлом году. Если хотите улучшить отношения — уменьшите число неприятностей, ухудшить — увеличьте. Это они и планируют. На ком реализовать план — чиновнику всё равно. Вот и надо сделать, чтобы у него не было интереса ухудшить на вас!

— И как же этого добиться?

— Очень просто: я ему объяснила, какие у Нобеля были отношения с Миттаг-Лефлером из-за жены!

— Но это легенда!

— Знаю, но чиновнику зачем это знать? Он узнал от меня, почему есть Филдсовские медали по математике!

— Но я же не имею отношения к Филдсовским медалям!

— И это я знаю, но чиновнику и это незачем знать!

Николь знаменита также замечательным детективом, описывающим убийство в математическом институте (Бюр-сюр-Иветт под Парижем, где она была секретарём). Следователь допрашивает секретаршу, как мог сделаться известным секретный разговор директора в его звуконепроницаемом кабинете всему институту.

— Очень просто, — отвечает героиня. — В комнате секретарши есть сделанный из картона раструб; приложив его к стене, можно всё услышать.

— Но откуда вы это знаете? — говорит детектив.

— Знаю? Я это изобрела!

Остальные герои детективной истории столь же узнаваемы.

Лейбниц считал дедуктивные умозаключения убедительным доказательством существования Бога. Ибо наблюдение частных случаев, по его мнению, не может привести нас к общим идеям. И, если мы всё же их постигаем, то только путём самонаблюдения — наблюдая не внешний мир и явления природы, а следя за тем, как работает наш мозг, куда все эти универсальные принципы, из которых все частные случаи выводятся, были, по мнению Лейбница, изначально вложены Создателем. «Ибо, — говорит он в письме королеве Софии-Шарлотте, которую он хотел таким способом защитить от влияния «безбожника Ньютона», — к этим универсальным законам можно привести даже ребёнка, умело задавая ему, по образцу Сократа, нужные вопросы».

Интересно, что проклятия по адресу индуктивного метода раздавались и позже, например Абель писал в письме Ханстину в 1826 году о «несчастном методе выводить общее из частного». Ханстин был соперником Абеля в глазах Университета в Осло: Абель просил 200 талеров, так как был очень беден (французы утверждали даже, будто он возвращался из Парижа в Осло по льду пешком), а Ханстин получил 9500 талеров для организации экспедиции в Сибирь с целью поисков четвёртого (!) магнитного полюса.

Прикладная наука вытесняла фундаментальную уже тогда: Абель заметил, что в Париже математики интересуются только астрономией, теорией теплоты, оптикой и теорией упругости, исключая разве одного Коши, сохранившего интерес к чистой математике, но совершенно свихнувшегося. Лагранж (в основном, в Берлине) занимался математикой, по его словам, только потому, что отец не оставил ему достаточного наследства. Работу Абеля дали на отзыв Коши, и он её потерял. Лейбниц думал, что d ( uv ) = du · dv и что кривая пересекает свою окружность кривизны с кратностью 4.

В одном французском физическом журнале («Fusion», 2001, № 84) я прочитал недавно, что вся слава Ньютона — якобы дутая и похищенная у Лейбница, да вдобавок и создана она французом Аруэтом (более известным под своим псевдонимом «Вольтер»).

Аруэт, пишут французы, учился в Париже в лицее Людовика Великого, где его учитель, иезуит, воспитал в нём крайний антисемитизм, который и был основой вольтеровского атеизма и антихристианских настроений (ведь Иисус был еврей!). Ради борьбы с христианством Вольтер решил лишить главного его учёного поборника, Лейбница, авторитета математика, и даже поехал ради этого в Берлин, где, споря с королём Фридрихом, пытался развенчать Лейбница. Но это не удалось. Тогда Вольтер поехал в Лондон к Ньютону, чтобы оспорить приоритет Лейбница. Но он опоздал на несколько недель — Ньютон умер, и только его племянница, Катерина Бартон, рассказала Вольтеру о яблоках, при помощи которых ему и удалось создать культ Ньютона.

В споре с Вольтером король Фридрих проявил свою учёность, сказав:

— На каждом континенте есть обезьяны, кроме лишь Европы, где вместо них — французы!

Вольтер возражал:

— Нет, французы — это помесь тигра с обезьяной.

Брат Марата, Будри, в своём курсе литературы в лицее Царского Села, рассказал эту историю, и одноклассники Пушкина закричали:

— Помесь тигра с обезьяной — это же Пушкин!

С тех пор в Лицее у него было прозвище «француз».

В гостях у одного кембриджского (Англия) математика я чуть не подрался всерьёз с японским профессором-биологом. В это время наш Президент собирался съездить в Японию, договориться о передаче южных Курильских островов. Но в газете в этот день появились сведения, что визит не состоится по каким-то техническим причинам.

Желая быть любезным, я сказал японскому профессору:

— Сегодня ли, завтра ли — во всяком случае этот вопрос будет в конце концов решён: хорошие отношения с Японией для нас жизненно важны.

Но японец стал чрезвычайно агрессивным:

— Никогда! — вскричал он. — Япония никогда не простит России, что вы отняли у нас нашу Манчжурию .

Дальнейшая дискуссия (которую вели уже американцы и англичане, а не я) показала, что представления нашего оппонента и об истории, и о географии весьма сомнительные. Главное, что его возмущало, было то, что, по его словам, Россия проиграла войну Японии и просто использовала испуг, произведённый американской атомной бомбой, чтобы захватить себе Манчжурию (Китай он вообще не признавал).

Случалось мне видеть и немцев, проводивших свою восточную границу в Заволжье, но они никогда не были так самоуверенно агрессивны. Когда немецкий ребёнок в Бонне, барахтаясь в луже лежа на спине, кричал матери: «Ich bin Auslander», 5 она краснела и старалась заглушить политически некорректного сына.

Старушка, приехавшая из деревни, спрашивала на вокзале в Дюссельдорфе:

— Где у вас тут улица Адольфа Гитлера?

Жители разъяснили ей, что у них такой улицы нет, а есть улица графа Адольфа (у нас это был бы Юрий Долгорукий: граф Адольф — средневековый основатель Дюссельдорфа). Старушка выразила своё удовлетворение словами:

— Он это заслужил!

Харди (1877–1947) в Кембридже написал свои лучшие работы. Обычно он делал их с Литлвудом, живя в одном (Тринити) колледже (где до сих пор хвалятся их активным участием в выборе для винного погреба порто, украшающего их обеды и праздники). Они встречались за трапезами трижды в день, за «высоким столом», где обедал Ньютон.

Но правила Тринити строго запрещают разговаривать за едой о своей науке и вообще о предметах, более серьёзных, чем погода: ведь даже при разговоре о левостороннем движении возникает риск спора, нарушающего пищеварение. Потому senior fellows («старшие товарищи») обязаны при первом же разногласии провозгласить примиряющую формулу: «So we all agree that we disagree» («Итак, мы все согласны, что у нас есть разногласия») — и тогда спор прекратится.

Впрочем, обязанностей у senior fellows много. Например, огромный квадратный двор колледжа, засаженный вековым газоном, имеет четыре асфальтовые дорожки к фонтану в центре. На этом газоне стоят объявления: «Keep off the grass, unless accompanied by a senior fellow» («He ходите по траве, исключая сопровождение старшего товарища»). Однажды я пытался пересечь двор по этим дорожкам, но мастер колледжа (сэр Майкл Атья) силой спихнул меня на газон и заставил идти по диагонали: «Во-первых, ты сам senior fellow, а во-вторых, ты идёшь с начальником колледжа!»

Из других объявлений замечательно запрещение входить в колледж с велосипедами и собаками. Говорят, что раньше запрет был на лошадей и собак. Байрон, будучи студентом (в холле Тринити-колледжа висит прекрасный его портрет тех времён) был очень недоволен этим запретом и, в конце концов, поселил в своей келье колледжа медведя. На возражения начальства он заявил, что это — новый ученик, а вовсе не собака и не лошадь: он куда умнее большинства студентов. Традиция велит уважать правила.

Итак, Харди и Литлвуд никогда не говорили между собой о математике. [ Просто не могу в это поверить, учитывая, что Рамануджан говорил с Харди почти исключительно о математике, а также вспоминая кое-какие места из «Математической смеси». :) — E.G.A. ] Зато каждый из них писал весь день, а вечером отправлял написанное другому (через сторожей колледжа, дежуривших у входа и разносивших ежедневно почту, что продолжается и сейчас). После многократного путешествия текста туда и обратно он превращался в очередную замечательную совместную статью, происхождение которой иначе было бы трудно объяснить, учитывая разницу характеров и стилей обоих авторов. Стиль Литлвуда ясен из его замечательных воспоминаний «Математическая смесь».

Литлвуд был альпинистом, использовавшим сложность готической архитектуры Кембриджа для скалолазания. А в математике он был прямым наследником Ньютона и Пуанкаре, подрабатывая даже и работами по артиллерийской баллистике. Я был поражён, обнаружив его оценки длительности сохранения адиабатического инварианта в гамильтоновой системе (предшествовавшие и моему доказательству вечного сохранения этого инварианта, и знаменитым экспоненциальным оценкам Нехорошева в теории КАМ). Быть может, ещё поразительнее то, что «теория хаоса» в динамических системах, включая «подкову Смейла», уже была разработана и опубликована Литлвудом (и Литлвудом с Картрайт, которая мне об этом и сообщила) задолго до Смейла, Синая, Алексеева и Аносова.

Харди же, ничего в динамических системах и в артиллерии не понимал: он был «сверхчистым» снобом, гордившимся больше всего успехами в теории чисел, которую он, вслед за Гауссом, называл «королевой математики» (объясняя сходство теории чисел с королевой полной бесполезностью обеих). Похвалить при Харди какое-либо математическое достижение за его внематематические приложения означало полностью себя скомпрометировать в его глазах. [ Нина Карловна Бари была из той же породы математиков. — E.G.A. ]

И вот, однажды Харди получил удивительное письмо из Мадраса с неожиданными математическими утверждениями, которые он не смог ни доказать, ни опровергнуть. [ Ну, насчёт некоторых формул Рамануджана из первого письма согласен, но Харди не зря называл интегралы Рамануджана «наименее импонирующими» — пару-тройку из них можно найти, что называется, «не отходя от кассы», а такой блестящий специалист по анализу, как Харди, уж, конечно, мог это проделать одной левой. :) — E.G.A. ] Подумав некоторое время о том, гений ли автор или неудачник, Харди в конце концов пригласил его в Кембридж, где они затем несколько лет работали столь же оригинально и успешно, как с Литлвудом, с этим молодым индусом — Рамануджаном (бронзовый бюст которого украшает теперь Тата Институт фундаментальных исследований в Бомбее).

Результаты Рамануджана (1887–1920) оказались действительно гениальными, хотя путь, по которому он до них дошёл, и сегодня остаётся достаточно таинственным, тем более, что математическое образование Рамануджана оставляло желать лучшего. Вероятно, Рамануджан часто опирался на эксперимент — на скрываемые им большие вычисления (компьютеров тогда не было). Но всего через несколько лет ещё молодой Рамануджан умер, оставшись навсегда самым славным именем в математике Индии.

Когда я жил в Кембридже в качестве senior fellow того же ньютоновского Тринити-колледжа, мои индийские коллеги, жившие там же, рассказали мне малоизвестные подробности жизни Рамануджана.

Однажды Рамануджана навестил в Тринити индусский физик Чандрасекар, приехавший из Америки. Комната друга показалась ему холодной, но Рамануджан объяснил ему, что по-настоящему он мёрзнет только по ночам — ведь в Кембридже бывают даже заморозки! Гость отправился осматривать условия в спальне, и тут выяснил, что Рамануджан спал на одеялах, не подозревая, что ими нужно укрываться (в Мадрасе этого не делают). [ Похоже на анекдот. Или Чандрасекаров было несколько? По крайней мере, известный астрофизик Субраманьян Чандрасекар родился в 1910 году и в друзья Рамануджану никак не годился. — E.G.A. ] Именно поэтому он так и мёрз, поэтому и заболел (кажется, сначала воспалением лёгких, а потом чахоткой) — эта болезнь и свела его в могилу совсем ещё молодым.

В этой истории, я думаю, виноват более всего снобизм Харди и его бурбакистская бесчеловечность, которые не позволили ему навестить своего больного ученика, жившего в одном с ним доме, и вовремя дать ему элементарные практические советы. Однако индийские коллеги, рассказавшие мне эту историю, и тактично избегая обсуждения английских нравов, связывали причину смерти Рамануджана с индийскими обычаями, по которым его жена осталась в Мадрасе, а не поехала с ним: ведь она должна была заботиться там о своей свекрови, матери Рамануджана — эта обязанность важнее, чем забота о муже!

С тех пор индусские студенты в Кембридже передают друг другу, как надо расстилать постель, и больше уже не замерзают. Странно, правда, что, несмотря на эти одеяла, вклад Рамануджана в математику остался непревзойдённым: его имя стоит рядом с именами Абеля и Галуа.

Один из самых знаменитых результатов Рамануджана связывает не вычислимые по отдельности (даже через числа ? и e ) слагаемые

удивительной формулой для их суммы:

Вот пример удивительных открытий Рамануджана — его теоремы о делимости чисел разбиений.

Для любого натурального числа n обозначим через p ( n ) число различных разбиений числа n на натуральные слагаемые. Например, p (3) = 3, как это показывают три разбиения (других нет):

Числа разбиений при n = 1, 2, 3, ... образуют последовательность

которая много изучалась, начиная с Эйлера, связавшего её с теорией степенных рядов и градуированных колец в своём «Введении в анализ».

Рост этой последовательности при больших n описывается асимптотической формулой Харди–Рамануджана–Радемахера

[ В таком виде формулу получил Успенский (публикация в ДАН от 1920 года). Это всего лишь главный член асимптотики, причём без указания остаточного члена. Заслуга Харди и Рамануджана состояла в том, что они получили весь асимптотический ряд (кстати, и по времени раньше Успенского), найдя более хитрую эквивалентную асимптотику (знаменитая добавка 1 / 24 ). История нахождения асимптотики p ( n ) стала широко известна благодаря Литлвуду. Подробности здесь . — E.G.A. ]

Согласно майору британской артиллерии МакМагону,

(Это число можно вычислить по дающему большую точность приближению в правой части формулы , только выписанного члена асимптотики будет маловато, получается 4 100 251 432 187,8. Чтобы получить точное значение надо взять восемь слагаемых ряда Радемахера. — E.G.A. .)

В этой формуле всё удивительно: в левой части стоит целое число чисто комбинаторного происхождения, задающее, сколькими способами можно разбить n на слагаемые.

В правой части стоит комбинация экспоненциальной и коренных функций, в которой вдобавок участвуют иррациональные числа: ? = 3,14... (задающее отношение длины окружности к её диаметру) и число Непера e = 2,718... (являющееся основой всего математического анализа).

То, что левая часть с большой точностью вычисляется по такой формуле, — совершенно удивительное открытие, где ярко проявляется фундаментальное единство всех частей математической науки: алгебры, геометрии, анализа, комбинаторики, теории вероятностей и техники приближённых вычислений.

Открытия Рамануджана делимости чисел разбиений состоят, например, в следующем:

Математика — экспериментальная наука, и свои открытия Рамануджан сделал, экспериментируя с приведённой выше последовательностью.

Восхищаясь гением Рамануджана, я всё же больше люблю чем-то более близких мне Абеля и Литлвуда. Доказательство Абеля неразрешимости в радикалах алгебраических уравнений степени 5 и выше я в 1963 году перевёл на топологический язык теории римановых поверхностей и групп монодромий накрытий — это доказательство я рассказал тогда московским школьникам, и один из них впоследствии издал это доказательство в виде книжки (В. Б. Алексеев, «Теорема Абеля в задачах и решениях». — М.: Наука, 1976). Поэтому в 2001 году один талантливый польский математик (долго обучавшийся в Москве) опубликовал по-английски своё « новое топологическое доказательство теоремы Абеля» в журнале «Топологические методы в нелинейном анализе».

За последние десятилетия в изучении работы мозга произошёл кардинальный сдвиг. Компьютерная томография позволяет следить за активностью разных частей мозга при выполнении разных заданий с миллисекундной точностью, и механизмы, о которых можно было только догадываться, теперь изучены детально.

Вот несколько ярких открытий, о которых легко рассказать неспециалисту. Оказывается, мужской и женский мозг анатомически различны с рождения (это — статистика: у некоторых женщин мозг скорее мужской).

Например, часть мозга, отвечающая за умножение многозначных чисел, у женщин, в среднем, в несколько раз больше и сильнее, чем у мужчин. Напротив, пространственное ориентирование (будь то в лесу или в городе) легче даётся мужчинам — опять-таки по анатомическим причинам.

У женщин, как правило, более развито мозолистое тело, осуществляющее связи между левым и правым полушариями мозга. Поэтому они используют обычно оба полушария: и левое, склонное к логике и к последовательным действиям; и правое, ответственное за пространственную ориентировку и за эмоции.

Напротив, из мужчин большинство либо левополушарны, либо правополушарны, и склонны заменять своё менее привычное к работе полушарие более привычным: одни решают геометрические задачи алгебраически (как Декарт, изгнавший чертежи из геометрии), а другие применяют геометрию для решения алгебраических задач (как Ж.-Ж. Руссо, который говорит в «Исповеди», что не мог поверить выведенной им самим формуле «квадрат суммы равен сумме квадратов слагаемых с удвоенным их произведением», пока не нарисовал чертёж).

С точки зрения математика, томография — это приложение теории рядов Фурье в медицине. Даже такой тонкий факт этой теории, как так называемое «явление Гиббса» (отличие предела графиков частичных сумм ряда от графика предела этих сумм) виден на томограмме в качестве артефакта: внутри изображения органа появляются дополнительные линии, которых в реальном органе нет. А именно, такими линиями являются прямые, касающиеся границ изображений костей либо в двух точках, либо в одной точке перегиба границы изображения, где выпуклость сменяется вогнутостью. Не зная явления Гиббса, можно начать лечить несуществующую болезнь.

Абстрактная идея числа (безотносительно к тому, что именно считается) неочевидна, и абстрактные числа имеются не во всех языках. Например, по-японски употребляются разные числительные, в зависимости от того, стоят считанные объекты или лежат, съедобны ли они и т.п. По-русски тоже есть счёт «один, два, три...» и есть «раз, два, три...», не вполне взаимозаменяемые.

Несколько лет назад японцам пришлось столкнуться с неудобством различных числительных в законодательстве. Дело в том, что во время дебатов о продовольственной проблеме один из депутатов обратил внимание собрания на то, что по японским горам бегают зайцы — прекрасная, но не используемая населением пища. Беда оказалась связанной с тем, что зайцы считаются числительными, означающими несъедобные предметы — потому зайцев и не едят.

Была создана комиссия по решению проблемы. Она через небольшое время предложила законопроект, который был принят и решил проблему. Новый закон гласит: «заяц — птица».

Библия запрещает есть зайцев с удивительной формулировкой: «Только сих не ешьте из жующих жвачку и имеющих раздвоенные копыта: ... зайца, потому что он жуёт жвачку, но копыта его не раздвоены» (Левит, 11, 6).

Шестилетний племянник Саня всегда желал вести светские беседы. По утрам он приезжал ко мне на дачу на велосипеде и спрашивал:

— Ты любишь природу?

На вопрос, что он имеет в виду, ему приходилось мне объяснять:

— Ну, море, океаны, птиц, рыб, леса, разных животных...

Когда я признавал, что люблю, следовал роковой вопрос:

— Ну, тогда ты, наверное, можешь мне помочь: чем питаются сколопендры?

Однажды, желая спастись от сколопендр, я предложил поехать в лес на велосипедах, и мы направились к деревне Аксиньино. Посреди этой деревни стояла старая церковь, используемая как склад муки или зерна. Проехав через большую лужу, располагавшуюся на нашем пути посреди деревни перед церковью, я обернулся и увидел среди лужи упавшего Саню, а сверху его велосипед. Бабы, шедшие со склада с мешками, чуть не попадали от смеха — мешки, во всяком случае, они сбросили.

— Они надо мной издеваются, а я именно это ненавижу, — сказал Саня, и мы поехали к кладбищу, взбиравшемуся на холм, за которым начинался лес.

Но тут я увидел на кладбище две разрытые могилы и предупредил Саню, что будут похороны, и что нам предстоит пройти мимо разрытых могил:

— А это, если у кого много грехов, опасно — черти могут через могилу утащить в ад.

Тогда Саня попросил дать ему сперва немного подумать. Через несколько минут он решился:

— Пойдём!

Мы благополучно прошли всё кладбище. Погода портилась. Спускались чёрные тучи, дул ветер, падали первые капли дождя, вдоль поля наверху шёл странный чёрный человек с чёрным зонтом, но и он ничего плохого не сделал.

— Вот видишь, — сказал я Сане, — не такие уж у тебя страшные грехи.

— Неужели, — ответил Саня, — ты мог подумать, что я за себя боялся?